Question

(UNEB-BA) Se x pertence ao intervalo [0,π/2] e tgx= 2, então cosx vale?

Answer 1

Sabemos que: $tgx=\frac{senx}{cosx}$

Dessa forma: $\frac{senx}{cosx}=2$
$senx=2cosx$

Elevando os membros ao quadrado:
$sen^2x=4cos^2x$

Pelo Teorema Fundamental:
$sen^2x=1-cos^2x$

Assim teremos:
$1-cos^2x=4cos^2x$
$5cos^2x=1$

Como x pertence a [0;π/2] teremos cosx > 0. Logo:
$cosx=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Answer 2

Se x pertence ao intervalo [0,π/2] e tg(x) = 2, então cos(x) vale √5/5.

Primeiramente, é importante lembrarmos que a razão trigonométrica tangente é definida como:

• É a razão entre o seno e o cosseno.

De acordo com o enunciado, a tangente de x é igual a 2. Então, podemos dizer que:

tg(x) = 2

sen(x)/cos(x) = 2

sen(x) = 2.cos(x).

A relação fundamental da trigonometria nos diz que:

• sen²(x) + cos²(x) = 1.

De sen(x) = 2.cos(x), podemos dizer que sen²(x) = 4.cos²(x).

Da relação fundamental da trigonometria, temos que sen²(x) = 1 - cos²(x). Sendo assim:

1 - cos²(x) = 4.cos²(x)

4.cos²(x) + cos²(x) = 1

5.cos²(x) = 1

cos²(x) = 1/5

cos(x) = ±1/√5.

Como [0,π/2] corresponde ao primeiro quadrante e nele o cosseno é positivo, então podemos concluir que cos(x) = √5/5.

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