Question

(UnB) Em um concurso em que a prova constava de 25
questões de múltipla escolha com 5 opções por questão,
compareceram 23.127 candidatos. Considere a
afirmação: pelo menos dois candidatos responderam de
modo idêntico às K primeiras questões da prova.
Determine o maior valor de K para o qual esta afirmação
é verdadeira. Exclua as possibilidades:
a) de o candidato deixar questão em branco;
b) de o candidato marcar mais de uma opção por questão.

Answer 1

O maior valor de k é 6.

O que é o princípio da casa dos pombos?

É um princípio matemático que diz que se em x casas devem ser colocados y pombos, então se existirem mais pombos do que casas, pelo menos uma casa terá mais de um pombo.

Saiba que essa ideia pode ser extrapolada para outras situações. Por exemplo, em um armário existem 6 meias verdes e 4 meias azuis: quantas meias devemos pegar para garantir que a próxima seja verde? Pelo princípio da casa dos pombos, o pior caso é tirar as 4 primeiras meias azuis, logo a resposta é 4.

Qual é a lógica da questão?

Afirmação: pelo menos dois candidatos responderam de  modo idêntico às K primeiras questões da prova.

Como cada questão possui 5 alternativas e existem 25 questões, então quantas seriam as formas de se marcar as alternativas?

Veja que, por exemplo, um candidato poderia fazer:

ABCDEABCDEABCDEABCDEABCDE

Já outro responder:

EDCBAEDCBAEDCBAEDCBAEDCBA

Pelo princípio fundamental da contagem, já que em cada alternativa são 5 opções e o total é de 25 questões então são 5²⁵ possibilidades de se responder. Logo, se existissem  5²⁵ + 1 candidatos, no pior caso, esse "1" candidato a mais responderia o mesmo gabarito de outro candidato, pelo princípio da casa dos pombos.

Como resolver a questão?

Utilizaremos o mesmo raciocínio, dessa vez queremos saber quantas possibilidades existem em K questões.

Possibilidades: $5^k$

Para garantir que pelo menos um candidato responda de modo idêntico a outro, devemos ter, um valor C de candidatos maior ou igual a:

$\boxed{C \geq 5^k + 1}$

Como a quantidade C de candidatos é 23.127, então:

$23.127 \geq 5^k + 1\Rightarrow \boxed{23.126 \geq 5^k}$

Não precisaremos resolver essa equação, basta chutar valores razoáveis e descobrir qual maior valor de K inteiro.

Para k = 5:

$5^5 = 3.125\\\\23.126\geq3.125$

Para k = 6:

$5^5 = 15.625\\\\23.126\geq15.625$

Para k = 7:

$5^5 = 78.125\\\\23.126\not{\geq}~78.125$

Assim, pelo princípio da casa dos pombos, pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico às 6 primeiras questões da prova.

Qual é a resposta?

O maior valor de k é 6.

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