Question

Umfeirante separou um número inteiro de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) ede peras (p). Observou que para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90dúzias, ele fez lotes de 6 tangerinas, lotes com 6 maçãs e lotes com 4 peras.Colocou em cada lote, indistintamente, o preço de R$0,50. Arrecadou R$ 105,00  na venda de todos eles. Calcule t, m,e p.

Answer 1

t = dúzias de tangerinas
m = dúzias de maçãs e
p = dúzias de peras.

Para cada maçã arrumada, havia 2 tangerinas, então o número de tangerinas é o dobro do número de maçãs:

$t = 2 \cdot m$

Com 90 dúzias no total:

$t + m + p= 90$

Ele fez lotes de 6 tangerinas, 6 maçãs e 4 peras.
6 tangerinas é meia dúzia, 6 maçãs é também meia-dúzia e 4 peras é um terço de dúzia.
Em cada lote o preço era R$0,50 e arrecadou R$105,00.

Ou seja, se cada lote era vendido por R$0,50, independente de ser de maçã, pera ou tangerina, então ele vendou no total:

$Total\cdot 0,50 = 105 \\ Total = \frac{105}{0,5} = 210$

Ele vendeu 210 lotes no total e vendeu todos eles, então o total de lotes reduzidos era 210:

$\frac{12 \cdot t}{6} + \frac{12 \cdot m}{6} + \frac{12 \cdot p}{4} = 210$

Sabendo que o número de tangerinas é o dobro de maçãs podemos reescrever as duas equações obtidas anteriormente assim:

$t + m + p = 90 \\ 2 \cdot m + m + p = 90 \\ 3 \cdot m + p = 90$

e:

$2 \cdot 2 \cdot m + 2\cdot m + 3 \cdot p = 210\\ 4 \cdot m + 2 \cdot m + 3 \cdot p = 210 \\ 6 \cdot m + 3 \cdot p = 210 \\ 3 \cdot (2 \cdot m + p) = 210 \\ 2 \cdot m + p = \frac{210}{3} = 70$
 
Então agora podemos trabalhar com um sistema de duas equações e duas incógnitas. Resolverei por substituição. Pela primeira equação:

$p = 90 - 3\cdot m$

Agora substituindo p  na segunda equação:

$2 \cdot m + p = 70 \\ 2 \cdot m + 90 - 3 \cdot m = 70 \\ -m = -20 \\ m = 20$

Se o número de dúzias de maçãs é 20, então o número de dúzias de tangerina é o dobro, ou seja: t = 40.

Para calcular o basta substituir na equação 1:

$m + t + p = 90 \\20 + 40 + p = 90 \\ p = 90 - 60 = 30$

Logo, 30 dúzias de peras