Question

Uma viatura de policia, vindo do norte e aproximando-se de um cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que no cruzamento toma direção leste. Quando a viatura está a 6 mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 mi a leste, o radar da policia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está aumentando a 20 mi/h. Se a viatura está se deslocando a 60 mi/h no instante desse medida, qual é a velocidade do fugitivo?

Answer 1

Obs: a viatura está a 0,6 km de distância do cruzamento, caso contrário o valor do carro do fugitivo seria muito surreal e incompatível com a realidade.


As distâncias são:

•   $\mathsf{x=0,8\ mi}$

•   $\mathsf{y=0,6\ mi}$

•   $\mathsf{l=1\ mi}$


Lembrando que o valor de "l" foi encontrado pelo Teorema de Pitágoras

     $\mathsf{l^2=x^2+y^2}$

     $\mathsf{l^2=0,8^2+0,6^2}$

     $\mathsf{l^2=0,64+0,36}$

     $\mathsf{l^2=1}$

     $\mathsf{l=1\ mi}$



Sabemos que a velocidade é a taxa de variação (derivada) da distância com relação ao tempo, então:

•   $\mathsf{\dfrac{dy}{dt}=-60\ mi/h}$

•   $\mathsf{\dfrac{dl}{dt}=20\ mi/h}$

•   $\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=?}$


A distância entre os carros pode ser descoberta pelo Teorema de Pitágoras, certo? Agora observe que podemos usar a derivação implícita, derivar dos dois lados com relação ao tempo. Lembrando que, como vamos derivar todas essas variáveis em relação à outra completamente distinta, usamos a regra da cadeia. Fazendo isso:

     $\mathsf{\dfrac{d}{dt}l^2=\dfrac{d}{dt}(x^2+y^2)}$

     $\mathsf{2l\dfrac{dl}{dt}=2x\dfrac{dx}{dt}+2y\dfrac{dy}{dt}}$

     $\mathsf{2\cdot 20=2\cdot 0,8\cdot \dfrac{dx}{dt}+2\cdot 0,6\cdot (-60)}$

     $\mathsf{40=1,6\cdot \dfrac{dx}{dt}-72}$

     $\mathsf{1,6\cdot \dfrac{dx}{dt}=40+72}$

     $\mathsf{1,6\cdot \dfrac{dx}{dt}=112}$

     $\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{112}{1,6}}$

     $\mathsf{\dfrac{dx}{dt}=70\ mi/h}$


Resposta: A velocidade do carro do fugitivo é de 70 mi/h.


Bons estudos! :-)