Question

Uma vacina de eficiência 0,92 foi aplicada a um grupo de 12 pessoas. Qual a probabilidade de que 10 ao menos pessoas sejam imunizadas?

Sugestão: Use distribuição binomial.

Eficiência é a probabilidade de um indivíduo vacinado ser imunizado.

Answer 1

✅ A probabilidade de ocorrer 10 imunizações nesse grupo de pessoas é de $\rm P(I=10) = 0{,}1835$

 

ℹ️ Entendamos primeiramente o que é o modelo de distribuição probabilística binomial e qual a situação que podemos empregá-la afim de modelar um problema. Irei partir da premissa de que já haja um conhecimento prévio sobre variáveis aleatórias discretas.

 

☁️ Tomemos como base uma série de tentativas de Bernoulli, as quais se fundamentam em:

• Uma tentativa resulta em duas possibilidades, sucesso ou falha;
• Cada tentativa é independente das demais tentativas;
• A probabilidade de sucesso em cada tentativa é sempre constante $\rm [ p ]$.

 

☁️ Sendo $\rm X$ a variável aleatória definida como o número de tentativas $\rm ( x )$ que resultam em sucesso, tal que as tentativas feitas respeitem as condições necessárias a uma tentativa de Bernoulli, dizemos que $\rm X$ tem distribuição binomial de parâmetros $\rm n \in \mathbb{N}^*$ e $\rm 0 < p < 1$ e sua função de probabilidade é

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle \rm\qquad f(x) = \binom{n}{x} p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \qquad}}}$

❏ Tal que:

• n = n tentativas de Bernoulli;
• p = probabilidade constante de sucesso;
• x = valor que a variável aleatória assume, isto é, a quantidade de sucessos em n tentativas.

 

⛈️️️ A função de probabilidade de uma distribuição binomial parece difícil? Vamos dissecá-la e entender!

• $\rm p^x$ = Esse trecho corresponde a probabilidade de ocorrer x sucessos;
• $\rm (1-p)^{n-x}$ = Já esse é o complementar do anterior, ou seja, a probabilidade de ocorrer n - x falhas;
• $\rm \binom{n}{x}$ = Para que as probabilidades anteriores façam sentido, devemos simplesmente combina-las de modo que sejam calculadas as diferentes sequências em que ocorrem x sucessos e n - x falhas;

 

⚠️ A combinação de n tentativas tomadas x a x é dada por:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\displaystyle \rm \qquad C^{n}_x = \binom{n}{x} = \dfrac{n!}{x!(n-x)!} \qquad}}}$

 

☔ Acho que deu para facilitar a compreensão!

 

✍️ Finalmente vamos resolver! Veja que podemos abstrair do enunciado os parâmetros n e p da binomial.

 

❏ Obs.: Seja $\rm I$ a variável aleatória definida como o números de pessoas imunizadas em um grupo de 12 pessoas. Então:

$\large\left\{\begin{array}{lr}\rm n = 12 \\\rm p = 0{,}92 \\\rm i = 10 \end{array}\right\}$

 

❏ A probabilidade da variável aleatória $\rm I$ assumir um valor $\rm i = 10$ será:

$\large\begin{array}{lr}\displaystyle \rm P(I = i ) = f(i) = \binom{12}{i} 0{,}92^i ( 1-0{,}92)^{12-i} \\\\\rm P(I = 10 ) = f(10) = \dfrac{12!}{10!(12-10)!} 0{,}92^{10} ( 1-0{,}92)^{12-10} \\\\\rm P(I = 10 ) = f(10) = 66 \cdot 0{,}4344 \cdot 0{,}0064 \\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\:P(I = 10 ) = f(10) = 0{,}1835}}}}\end{array}$

 

⚰️ Essa é a probabilidade de que 10 pessoas em 12 sejam imunizadas.

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre modelos probabilísticos, distribuição binomial:

• https://brainly.com.br/tarefa/26575566

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$

Answer 2

Distribuição Binomial (p ; n)

P[X=x] =Cn,x * p  * p^x  * (1-p)^(n-x)    ...x=0,1,2,3,...,n

X é a variável aleatória e x é o número associado a variável aleatória

n : tamanho da amostra

p: probabilidade de sucesso

X : número de pessoas imunizadas

Qual a probabilidade de que 10 ao menos pessoas sejam imunizadas?

P[X≥10] =P[X=10]+P(X=11]+P[X=12]

P[X=10] =C12,10 * 0,92¹⁰ * (1-0,92)¹²⁻¹⁰

= 66 * 0,4343885* 0,0064 = 0,1834857

P[X=11] =C12,11 * 0,92¹¹ * (1-0,92)¹²⁻¹¹

=12 * 0,3996374 * 0,08 = 0,383652

P[X=12] =C12,12 * 0,92¹² * (1-0,92)¹²⁻¹²

=0,36766639

P[X≥10] = 0,1834857 +0,383652 + 0,36766639 =0,93480409

ou 93,48%