Question

Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 pretas, 3 bolas são retiradas com reposição. seja X o número de bolas brancas. Calcular E(x). (Função de distribuição)

Answer 1

Olá, tudo bem?

Para resolver essa questão, precisamos encontrar descritivamente todas as possibilidades. Se valendo da ideia que temos 2 opções 3 vezes, podemos usar a conta 2*2*2 = 8 para nortear quantas possibilidades teremos, com B para brancas e P para pretas:

BBB = 0,4 * 0,4 * 0,4 = 0,064BBP = 0,4 * 0,4 * 0,6 = 0,096 * 3 = 0,288
BPP = 0,4 * 0,6 * 0,6 = 0,144 * 3 = 0,432
PPP =  0,6 * 0,6 * 0,6 = 0,216

Como apresentado acima, usa-se a probabilidade de ocorrência de cada bola para encontrar o valor do acontecimento, como BBP aparece 3 vezes, em BBP BPB e PBB, multiplicamos o seu valor por 3. O mesmo acontece com BPP, em BPP, PBP e PPB. A partir destes dados, escolhemos a bola branca para ser X em 4 valores, X = 0, 1 , 2 e 3 e multiplicamos pelos respectivos valores em probabilidade de acontecimento.

E(x) = 0 * 0,216 + 1 * 0,432 + 2 * 0,288 + 3 * 0,064
E(x) = 0 + 0,432 + 0,576 + 0,192
E(x) = 1,2

Então, X sendo o número de bolas brancas, a esperança de X é 1,2 bolas brancas.

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Eu prefiro pensar em termos de uma distribuição Binomial, a qual já entro em detalhes

Perceba que como tem reposição, os eventos (retirar 1 bolinha branca) são independentes. Assim, se eu retirar 1 bolinha agora, a probabilidade de sair uma branca é de 4/10.

Vamos chamar esse 4/10 de "p". "p" é o sucesso independente de cada tentativa, porque se depois de uma hora eu tirar mais uma bolinha, a probabilidade de ela ser branca ainda é 4/10, que é igual a "p".

        Assim $p = 4/10 = 0.4$

Vamos chamar de X, a quantidade de bolinhas brancas em 3 tentativas.

Aqui estou considerando para interpretação que sorteei uma bolinha de cada vez.

Então, em 3 tentativas eu posso ter 0 bolinhas brancas, todas são pretas; 1 bolinha branca, 2 são pretas; 2 brancas, 1 é preta; e 3 brancas, nenhuma preta.

Assim X pode assumir os valores de {0,1,2,3} .

           $X = [0,1,2,3]$

Aí que entra a distribuição de Binomial. Pela definição:

Seja, X uma variável aleatória que pode ser entendida como "O número de acontecimentos de interesse (sucessos) que acontecem em "n" tentativas",  a probabilidade atribuída a qualquer valor de X é da forma:

    $P(X=n) = \frac{x!}{(n-x!)x!}* p^{x}*(1-p)^{n-x}$

O Valor Esperado:

    $E[x] = np$

A Variância

   $V(x) = np(1-p)$:

Desvio Padrão:

   $DP = \sqrt{V(x)}$

Para terminar,  distribuição de uma variável aleatória é o conjunto de pontos que mapeiam seu valor em X e sua probabilidade.