Question

Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 preta. Tiramos, sucessivamente, 2 bolas. Determine a probabilidade de:

a) As bolas terem a mesma cor.
b) As bolas terem cores diferentes.

Answer 1

A urna tem um total de  7  bolas, das quais  3  são brancas e  4  são pretas.

a)  O evento

     •   E:   as duas bolas têm a mesma cor

pode ser visto como a união de dois eventos:

     •   E₁:   as duas bolas são brancas.

     •   E₂:   as duas bolas são pretas.

de modo que  E = E₁ U E₂.

Como  E₁  e  E₂  são mutualmente exclusivos, a probabilidade de  E  será a soma das probabilidades de  E₁  e  E₂:

     p(E) = p(E₁) + p(E₂)


     •   E₁:  a  1ª  é branca e a  2ª  também é branca  (dado que a  1ª  foi
     branca).
 
                     3         3 – 1
     p(E₁)  =  ——  ·  ————
                     7         7 – 1

                     3         2
     p(E₁)  =  ——  ·  ——
                     7         6

     (3  brancas entre  7, e depois  2  brancas entre as  6  que sobraram)

                      6
     p(E₁)  =  ———    <———    probabilidade de duas brancas.
                     42


     •   E₂:  a  1ª  é preta e a  2ª  é também é preta (dado que a  1ª  foi preta).
 
                     4          4 – 1
     p(E₂)  =  ——  ·  ————
                     7          7 – 1

                     4         3  
     p(E₂)  =  ——  ·  ——
                     7         6

     (4  pretas entre  7, e depois  3  pretas entre as  6  que sobraram)

                      12
     p(E₂)  =  ———    <———    probabilidade de duas pretas.
                      42


Portanto, a probabilidade de as duas bolas terem a mesma cor é

     p(E) = p(E₁) + p(E₂)
 
                     6             12
     p(E)  =  ———  +  ———
                    42           42

                     18
     p(E)  =  ———          simplificando,
                    42

                    3
     p(E)  =  ——
                    7

     p(E) ≈ 42,9 %    <———    esta é a resposta.

—————

b)  Agora temos este evento:

     •   E:   As duas bolas têm cores diferentes.

Isto pode ocorrer de duas formas:

     •    E₁:   A  1ª  é preta e a  2ª  é branca.

     •    E₂:   A  1ª  é branca e a  2ª  é preta.

Aqui novamente, temos dois eventos  mutualmente exclusivos, e

     E = E₁ U E₂.


Calculando as probabilidades:
 
                     4            3
     p(E₁)  =  ——  ·  ————
                     7          7 – 1

                     4         3
     p(E₁)  =  ——  ·  ——
                     7         6

     (4  pretas entre  7, e depois  3  brancas entre as  6  que restaram)

                     12
     p(E₁)  =  ———    <———    probabilidade de a  1ª  preta e a   2ª  branca.
                     42


                     3             4
     p(E₂)  =  ——  ·  ————
                     7          7 – 1

                     3          4
     p(E₂)  =  ——  ·  ——
                     7          6

     (3  brancas entre  7, e depois  4  pretas entre as  6  que restaram)

                      12
     p(E₂)  =  ———    <———    probabilidade de a  1ª  branca e a  2ª  preta.
                      42


Portanto, a probabilidade de as duas bolas terem cores diferentes é
 
     p(E) = p(E₁) + p(E₂)
 
                     12            12
     p(E)  =  ———  +  ———
                    42            42

                    24
     p(E)  =  ———          simplificando,
                    42

                    4
     p(E)  =  ——
                    7

     p(E) ≈ 57,1 %    <———    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)