Question

Uma Urna Contém 20 bolas, sendo 7 pretas, 7 amarelas, e 6 verdes, calcule:

A) a Probabilidade, sem reposição, 3 bolas(uma de cada cor)

Answer 1

$Bom \ dia, \bold{Raylan1999}.$

$Primeira \ forma \ \longrightarrow \ Por \ arranjos \ e \ permuta\c{c}\ ~oes \ :$

$A_{(n,p)} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)!} \\ \\ A_{(n,p)} \ \rightarrow \ Arranjo \ de \ n \ 'fatores' \ em \ p \ 'espa\c{c}os'...$

$Nessa \ forma,  \ contaremos \ a \ ordem \ de \ retirada. \\ Por \ isso, \ arranjo.$

$Como \ casos \ totais \ (T), \ vamos \ arranjar \ 20 \ bolas \ em \ 3 \ 'espa\c{c}os' \rightarrow \\ \\ T \ = \ \frac{20!}{(20 \ - \ 3)!} \\ \\ T \ = \ \frac{20!}{17!} \\ \\ T \ = \ \frac{20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 18 \ \cdot \ \not{17!}}{\not{17!}} \\ \\ \boxed{T \ = \ 20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 18 \ casos \ totais}$

$Para \ os \ casos \ favor\'aveis \ (n) \ \longrightarrow \\ \\ P_{(n)} \ = \ n! \\ \\ P_{(n)} \ \rightarrow \ Permuta\c{c}\~ao \ de \ n \ elementos.$

$Usando \ princ\'ipio \ multiplicativo, \ ou \ por \ arranjo, \ ou \ por \ combina\c{c}\~ao,$

$vamos \ chegar \ no \ mesmo... \\ \\ Enfim, \ temos \ que \ tirar \ 1 \ bola \ verde \ de \ 6 \ (6 \ possibilidades), \\ 1 \ bola \ amarela \ de \ 7 \ (7 \ possibilidades) \ e \ 1 \ bola \ preta \ de \ 7 \\ (7 \ possibilidades). \\ \\ Temos \ ent\~ao \ \rightarrow$

$\underbrace{6}_{verdes} \ \cdot \ \underbrace{7}_{amarelas} \ \cdot \ \underbrace{7}_{pretas}... \\ \\ Mas, \ como \ estamos \ nos \ importando, \ neste \ caso, \ com \ a \ ordena\c{c}\~ao, \\ temos \ que \ considerar \ a \ permuta\c{c}\~ao \ de \ retiradas.$

$S\~ao \ 3 \ eventos \ diferentes \ (1 \ retirada \ de \ bola \ preta, \ outra \ de \ amarela \\ e \ outra \ de \ verde). \\ \\ A \ permuta\c{c}\~ao \ desses \ 3 \ eventos \ diferentes \ \'e \rightarrow \\ \\ P_{(3)} \ = \ 3! \ = \ 6$

$Logo, \ n \ fica \ \rightarrow$

$\boxed{n \ = \ \underbrace{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6}_{possibilidades \ dos \ eventos} \ \cdot \ \underbrace{6}_{permuta\c{c}\~ao \ dos \ eventos}}$

 $Calculando \ a \ probabilidade \ \boxed{p \ = \ \frac{n}{T}} \ \rightarrow \\ \\ p \ = \ \frac{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6 \ \cdot \ 6}{20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 18} \ \rightarrow \ Simplificando : \\ \\ p \ = \ \frac{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 2}{20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 1} \\ \\ p \ = \ \frac{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 1}{10 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 1} \\ \\ \boxed{\boxed{p \ = \ \frac{49}{190} \ \approx \ 25\%}}$

$Mas \ a \ combinat\'oria \ \'e \ uma \ \'area \ muito \ curiosa... \\ podemos \ e \ vamos \ fazer \ agora \ sem \ considerar \ ordena\c{c}\~oes.$

$C_{(n,p)} \ = \ \frac{n!}{(n \ - \ p)! \ \cdot \ p!} \\ \\ C_{(n,p)} \ \rightarrow \ Combina\c{c}\~ao \ de \ n \ 'fatores' \ em \ p \ 'espa\c{c}os'...$

$Para \ os \ casos \ totais \ (T) \ \rightarrow \ \\ \\ Vamos \ combinar \ 20 \ bolas \ em \ 3 \ espa\c{c}os \ (combina\c{c}\~ao \ desconsidera \\ permuta\c{c}\~oes \ / \ ordena\c{c}\~oes \ internas)...$

$T \ = \ \frac{20!}{(20 \ - \ 3)! \ \cdot \ 3!} \\ \\ T \ = \ \frac{20!}{17! \ \cdot \ 3!} \\ \\ T \ = \ \frac{20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 18 \ \cdot \ \not{17!}}{\not{17!} \ \cdot \ 6} \\ \\ \boxed{T \ = \ 20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 3 \ casos \ totais}$

$Para \ os \ casos \ favor\'aveis \ (n) \ \longrightarrow \\ \\ Pelo \ princ\'ipio \ multiplicativo, \ de \ novo \ temos \ 7 \ \cdot \ 7 \ \cdot 6.$

$S\'o \ que \ agora \ n\~ao \ estamos \ mais \ para \ as \ permuta\c{c}\~oes \ internas, \\ de \ modo \ que \ : \\ \\ \boxed{n \ = \ 7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6 \ formas} \ \longrightarrow \ \'E \ s\'o \ isso \ mesmo.$

$Fazendo \ a \ probabilidade \ p \ = \ \frac{n}{T} \ \rightarrow \\ \\ p \ = \ \frac{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 6}{20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 3} \ \rightarrow \ Simplificando \ : \\ \\ p \ = \ \frac{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 2}{20 \ \cdot \ 19 \ \cdot \ 1} \\ \\ p \ = \ \frac{7 \ \cdot \ 7 \ \cdot \ 1}{10 \ \cdot \ 19} \\ \\ \boxed{\boxed{p \ = \ \frac{49}{190} \ \approx \ 25\%}}$