Question

Uma universidade tem 10 mil alunos dos quais 4 mil são considerados esportistas. Temos ainda
que 500 alunos são do curso de biologia diurno, 700 da biologia noturno, 100 são esportistas e da biologia
diurno e 200 são esportistas e da biologia noturno. Um aluno é escolhido ao acaso e pergunta-se a
probabilidade de: (1,0pts)
a. Ser esportista.
b. Ser esportista e aluno da biologia noturno.
c. Não ser da biologia.
d. Ser esportista ou aluno da biologia.
e. Não ser esportista nem aluno da biologia.


Esstatistica

Answer 1

Resposta:

a) $\frac{2}{5}$

b) $\frac{1}{50}$

c) $\frac{22}{25}$

d) $\frac{49}{100}$

e) $\frac{51}{100}$

Explicação:

Dado que

Universidade: 10 mil alunos

Esportistas: 4 mil

Biologia diurno: 500

Biologia noturno: 700

Esportistas e da biologia diurno: 100

Esportistas e da biologia noturno: 200

Há alunos sendo contados mais de uma vez, portanto, precisa-se separá-los para termos uma probabilidade precisa. Para isso pode-se usar o diagrama de Venn (em anexo) ou uma tabela, caso ache mais fácil.

Agora tem que separar todos sem repetição iniciando da camada mais profunda, ou seja, o espaço que tem mais interseções que, nesse caso, são os dois referentes aos Esportistas e da biologia.

Temos que 500 são alunos da biologia diurna, mas desses 500, 100 são esportistas, ou seja, 400 são somente alunos da biologia diurna, pois 500 - 100 = 400. Assim, os dados ficaram da seguintes forma:

Universidade: 10 mil alunos

Esportistas: 4 mil

Somente Biologia diurno: 400

Biologia noturno: 700

Esportistas e da biologia diurno: 100

Esportistas e da biologia noturno: 200

Indo para a próxima interseção, temos que 700 alunos são da biologia noturna, mas desses 700, 200 são esportistas, o que indica que apenas 500 são somente alunos da biologia noturna, pois 700 - 200 = 500. Agora ficando assim:

Universidade: 10 mil alunos

Esportistas: 4 mil

Somente Biologia diurno: 400

Somente Biologia noturno: 500

Esportistas e da biologia diurno: 100

Esportistas e da biologia noturno: 200

Após dividir as duas interseções, parte-se para os Esportistas. Há 4 mil, porém, 100 são também alunos da biologia diurno e 200 da biologia noturna, o que significa que apenas 3,7 mil são apenas esportistas, pois 4000 - 100 - 200 = 3700. Ficando da seguinte maneira:

Universidade: 10 mil alunos

Somente Esportistas: 3,7 mil

Somente Biologia diurno: 400

Somente Biologia noturno: 500

Esportistas e da biologia diurno: 100

Esportistas e da biologia noturno: 200

Por fim, falta apenas sabermos quantos alunos da universidade não são nem alunos da biologia e nem são esportistas, para isso, basta somarmos todos os alunos esportistas e da biologia e subtrairmos do total da universidade. Logo, temos que

3700 + 400 + 500 + 100 + 200 = 4100 + 600 + 200 = 4700 + 200 = 4900 $(I)$

Subtraindo do total de alunos da universidade, temos

10000 - 4900 = 5100

Dessa forma, os últimos dados ficaram assim:

Universidade (sem alunos esportistas e da biologia): 5,1 mil alunos

Somente Esportistas: 3,7 mil

Somente Biologia diurno: 400

Somente Biologia noturno: 500

Esportistas e da biologia diurno: 100

Esportistas e da biologia noturno: 200

Após separar todos os dados, pode-se responder as questões.

a)

Dado o total de esportistas e de alunos da universidade, temos que

$P(E) = \frac{n(E)}{n(T)} = \frac{4000}{10000} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

onde $P(E)$ é a probabilidade de escolher um aluno esportista, $n(E)$ a quantidade de alunos esportistas e $n(T)$ a quantidade de alunos totais da universidade.

b)

Sabendo que a quantidade de alunos esportistas e da biologia noturno é igual a 200, temos

$P(E\&\&Bn) = \frac{n(E\&\&Bn)}{n(T)} = \frac{200}{10000} = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$

onde $P(E\&\&Bn)$, ou P(E∩Bn), é a probabilidade de escolher um aluno esportista e da biologia noturno e $n(E\&\&Bn)$, ou n(E∩Bn), a quantidade de alunos esportistas e da biologia noturno.

c)

Alunos que não são da biologia, são somente esportistas e o restante da universidade, ou seja, 3700 + 5100 = 8800. Utilizando da mesma fórmula das questões anteriores, temos que

$P(B^{c} ) = \frac{n(B^{c})}{n(T)} = \frac{8800}{10000} = \frac{88}{100} = \frac{44}{50} = \frac{22}{25}$

onde $P(B^{c} )$ é a probabilidade de escolher um aluno que não é da biologia e $n(B^{c} )$ a quantidade de alunos que não são da biologia.

d)

Ser esportista ou aluno da biologia significa que são todos os alunos com exceção do restante da universidade, ou seja, a somatória $(I)$, 4,9 mil. Assim, temos

$P(E||B) = \frac{n(E||B)}{n(T)} = \frac{4900}{10000} = \frac{49}{100}$

onde $P(E||B)$, ou P(E∪B), é a probabilidade de escolher um aluno esportista ou da biologia e $n(E||B)$, ou n(E∪B), a quantidade de alunos esportistas ou da biologia.

e)

Não ser esportista nem aluno da biologia significa ser o restante dos alunos da universidade, 5,1 mil. Com isso, temos que

$P(E^{c}\&\&B^{c}) = \frac{n(E^{c}\&\&B^{c})}{n(T)} = \frac{5100}{10000} = \frac{51}{100}$

onde $P(E^{c}\&\&B^{c})$, ou P($E^{c}$∩$B^{c}$), é a probabilidade de escolher um aluno que não seja esportista nem da biologia e $n(E^{c}\&\&B^{c})$, ou n($E^{c}$∩$B^{c}$), a quantidade de alunos que não são esportistas nem da biologia.