Question

Uma universidade organizou uma expedição ao sítio arqueológico de Itaboraí, um dos mais importantes do Rio de Janeiro. Para facilitar a localização dos locais de escavação, foi adotado um sistema cartesiano de coordenadas. O objetivo da expedição é realizar escavações nos pontos A (0, 0),B (6, 18) e C (18,6). Se o chefe da expedição pretende acampar em um ponto equidistante (situado a igual distância) dos locais de escavação determine as coordenadas do local do acampamento.

Answer 1

A reta r que passa por A = (0 , 0) e B = (6 , 18), possui coeficiente angular 3 e coeficiente linear 0
r: y = 3x
O ponto médio entre os pontos A e B é P = (3 , 9)
A reta r' perpendicular a r que passa pelo ponto médio de A e B é a reta que possui os ponto equidistantes de A e B, essa reta possui coeficiente angular igual a -1/3, para definir o coeficiente linear dessa reta, usamos o fato de que o ponto P pertence a essa reta
r': y = -x/3 + b
    9 = -3/3 + b
    9 = -1 + b
    9 +1 = b
    b = 10
portanto r': y = -x/3 + 10

A reta s que passa por A = (0 , 0) e C = (18 , 6), possui coeficiente angular 1/3 e coeficiente linear 0
s: y = x/3
O ponto médio entre os pontos A e C é Q = (9 , 3)
A reta s' perpendicular a s que passa pelo ponto médio de A e C é a reta que possui os ponto equidistantes de A e C, essa reta possui coeficiente angular igual a -3, para definir o coeficiente linear dessa reta, usamos o fato de que o ponto Q pertence a essa reta
r ': y = -3x + b
    3 = -3*9 + b
    3 = -27 + b
    3 + 27 = b
    b = 30
portanto s': y = -3x + 30

Portanto o ponto equidistante de A, B e C pertence tanto a reta r' quanto a reta s'

y = -x/3 + 10
y = -3x + 30

logo,

-x/3 + 10 = -3x + 30
3x - x/3 = 30 - 10
(9x - x)/3 = 20
8x = 60
x = 15/2

y = -3x + 30
y = -3*(15/2) + 30
y = -45 / 2 + 60 / 2
y= 15 / 2

Portanto o ponto M = (15/2 , 15/2) é equidistante de A, B e C