Question

Uma turma de calouros tem 12 rapazes e 10 moças. Devem escolher 5 representantes. De quantas maneiras eles podem ser escolhidos?
a) 28.850
b) 26.334
c) 24.535
d) 22.800
e) 20.535​

Answer 1

Resposta:

Podem ser escolhidos de 26 334 maneiras     logo b)

Explicação passo-a-passo:

Temos um total de 12 + 10 = 22 jovens.

Quer-se escolher 5 representantes.

Repare que não há restrições.

Podem ser todos rapazes ou todos moças.

Porque a ordem não interessa, se se escolhe primeiro o José e depois o

Marcelo, nada disso interessa.

Quando não existe problema com  a ordem da escolha, trata-se de

usarmos combinações.

Neste caso combinações de n = 22 elementos , de p = 5 a 5 elementos.

Existe uma fórmula geral que é:

$C_{n,p}=\frac{n!}{p!*(n-p)!}$

O que é o fatorial( ! )  ?

Com um exemplo percebe melhor.

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

Neste caso:

$C_{22,5}=\frac{22!}{5!*(22-5)!}$    $=\frac{22!}{5!*17!}$

Como 22!  maior que 17 !  vamos expandir o numerador até chegar ao 17!

$=\frac{22*21*20*19*18*17!}{5!*17!}$

O 17! no numerador vai cancelar-se com o 17! no denominador.

Observação 1 - podem cancelar-se, ou como se diz "corta 17! com 17! "

porque no numerador e no denominador da fração só existem

multiplicações

$=\frac{22*21*20*19*18}{5!}$

Mas 5 ! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 =120

O 5 * 4 = 20 cancela-se com o 20 no numerador

O 3 * 2 = 6  se dividirmos 18 por 6 fica 3 no numerador

E o denominador já "desapareceu" ( é falso; agora vale 1 )

$22*21*19*3=26334$  

Bom estudo.

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Sinais: ( * )  multiplicação      ( ! )    fatorial de um número

$C_{n,p} = combinacoes-- de-- n-- elementos--p--a--p--elementos$