Question

uma tropa de soldados é disposta em 20
fileiras, de forma que, em cada fileira, haja sempre x soldados a mais que na anterior. Nas 10 primeiras fileiras, ha um total de 140 soldados; nas 10 ultimas, 340 soldados. Calcule o valor de x, bem como o número de soldados na primeira e na ultima fila.

Answer 1

Na primeira fileira, existem 'y' soldados
Na segunda fileira, existem 'y + x' soldados
Na terceira fileira, existem 'y + x + x' soldados
...

Isso é uma P.A:

$P.A~(y,~[y+x],~[y+2x],~[y+3x],...)$

$a_{1}=y\\r=x$
__________________

Nas 10 primeira fileiras, há um total de 140 soldados

Isso quer dizer que, a soma dos 10 primeiros termos dessa P.A é 140

$S_{10}=140\\(a_{1}+a_{10})*10/2=140\\(a_{1}+a_{10})*5=140\\a_{1}+a_{10}=140/5\\a_{1}+a_{10}=28$

Achando a₁₀:

$a_{10}=a_{1}+9r\\a_{10}=y+9x$

$a_{1}+a_{10}=28\\y+y+9x=28\\2y+9x=28$
____

Nas 10 últimas fileiras, há um total de 340 soldados

Ou seja, a soma a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + ... + a₂₀ é igual a 340

A fórmula que utilizarei pra isso é diferente:

$S_{a,b}=\dfrac{(b-a+1)(a_{a}+a_{b})}{2}$

No caso, queremos a soma do 11º até o 20º:

$S_{11,20}=\dfrac{(20-11+1)(a_{11}+a_{20})}{2}~~~\therefore~~~\boxed{S_{11,20}=5(a_{11}+a_{20})}$

Achando a₁₁ e a₂₀:

$a_{11}=a_{1}+10r~~~\therefore~~~\boxed{a_{11}=y+10x}\\\\a_{20}=a_{1}+19r~~~\therefore~~~\boxed{a_{20}=y+19x}$

Agora:

$S_{11,20}=340\\5(a_{11}+a_{20})=340\\a_{11}+a_{20}=340/5\\a_{11}+a_{20}=68\\y+10x+y+19x=68\\2y+29x=68$
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Sistema:

$\begin{cases}2y+29x=68\\2y+9x=28\end{cases}$

Subtraindo membro a membro:

$2y-2y+29x-9x=68-28\\20x=40\\x=2$

$2y+9x=28\\2y+9*2=28\\y+9=14\\y=14-9\\y=5$

Só falta quantos soldados estão na última fileira:

$a_{20}=x+19y\\a_{20}=2+19*5\\a_{20}=2+95\\a_{20}=97$
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x = 2
Soldados na primeira fileira: 5
Soldados na última fileira: 97