Question

Uma transformação linear tal que T(1,2)= (3,2,1) eT(3,4)= (6,5,4), qual é a função transformação linear T(u)?

Answer 1

A transformação linear descrita é dada por:

$T(x, y) = (\dfrac{3y}{2}, x + \dfrac{y}{2}, 2x - \dfrac{y}{2})$

O que é uma transformação linear?

Uma transformação linear é uma função estudada em álgebra linear que possui a propriedade de preservar a adição de dois vetores e a multiplicação de um vetor por um número real (escalar). Ou seja, dados V e W dois espaços vetoriais, temos que, a função T(v) é uma transformação linear se, e somente se, T(a*v + u) = a*T(v) + T(u), onde a é um escalar e u e v são vetores pertencentes ao espaço vetorial V.

Para determinar uma transformação linear no espaço vetorial $\mathbb{R}^2$ é suficiente calcular os valores dessa transformação nos vetores da base canônica formada pelos vetores (1,0) e (0,1), pois, T(x, y) = x*T(1,0) + y*T(0,1).

Temos que:

$(1, 0) = a(1, 2) + b(3,4) \Rightarrow a = -2, b = 1$

$(0, 1) = a(1, 2) + b(3,4) \Rightarrow a = 3/2, b = -1/2$

Utilizando as propriedades de uma transformação linear, podemos escrever que a imagem de um vetor qualquer v = (x, y) é dada por:

$T(x, y) = T(x *(1,0)+ y* (0,1)) = x*T(1,0)+y*T(0,1)$

$T(x, y) = x* T( -2*(1, 2) + (3,4) ) + y*T(\dfrac{3}{2}(1, 2) - \dfrac{1}{2}(3,4))$

$T(x, y) = x*(-2 * T(1, 2) + T(3, 4)) + y*(\dfrac{3}{2} * T(1, 2) - \dfrac{1}{2} * T(3, 4))$

$T(x, y) = x*(-2 * (3, 2, 1) + (6, 5, 4)) + y*(\dfrac{3}{2} * (3, 2, 1) - \dfrac{1}{2} * (6, 5, 4))$

$T(x, y) = x*(0, 1, 2)+y*(\dfrac{3}{2}, \dfrac{1}{2}, - \dfrac{1}{2})$

$T(x, y) = (\dfrac{3y}{2}, x + \dfrac{y}{2}, 2x - \dfrac{y}{2})$

Para mais informações sobre transformações lineares, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/279551

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