Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar.
Texto elaborado pelo Professor, 2019.
Levando em consideração esses fatos, julgue as proposições abaixo:
Estão corretas:
Soluções para a tarefa
Estão corretas as proposições II e III.
As proposições são:
I) A transformação T: R → R, T(x) = 1 é uma transformação linear.
II) A transformação T: R² → R, T(x,y) = x + y é uma transformação linear.
III) A transformação T: R → R², T(x) = (0,x) é uma transformação linear.
IV) A transformação T: R² → R², T(x,y) = (x²,y) é uma transformação linear.
Solução
Para determinarmos se as funções são transformações lineares ou não, devemos analisar duas condições:
- T(u + v) = T(u) + T(v), com u e v no domínio de T.
- T(c.v) = c.T(v), para todo v e para todo escalar c.
Vamos analisar cada função.
I) Sendo a e b, temos que:
T(a) + T(b) = 1 + 1 = 2.
T(a + b) = 1.
Os valores são diferentes.
Logo, T não é uma transformação linear.
II) Dados os vetores (a,b) e (c,d), temos que:
T(a,b) + T(c,d) = a + b + c + d.
T((a,b) + (c,d)) = T(a + c, b + d) = a + c + b + d.
c.T(a,b) = c.(a + b) = ac + bc.
T(c(a,b)) = T(ac,bc) = ac + bc.
Logo, a função é uma transformação linear.
III) Sendo a e b, temos que:
T(a) + T(b) = (0,a) + (0,b) = (0, a + b).
T(a + b) = (0, a + b).
c.T(a) = c.(0,a) = (0,ac).
T(c.a) = (0,ac).
Logo, a função é uma transformação linear.
IV) Sendo (a,b) e (c,d), temos que:
T(a,b) + T(c,d) = (a²,b) + (c²,d) = (a² + c², b + d).
T((a,b) + (c,d)) = T(a + c, b + d) = ((a + c)²,b + d).
Veja que os valores encontrados são diferentes.
Logo, a função não é uma transformação linear.
Resposta:
I e II Apenas
Explicação passo a passo: