Question

Uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear.

Texto elaborado pelo Professor, 2018.

Levando em consideração esses fatos, julgue as proposições abaixo:
​
Estão corretas:
​
Alternativa 1:
I e II, apenas.

Alternativa 2:
II e III, apenas.

Alternativa 3:
II, apenas.

Alternativa 4:
III, apenas

Alternativa 5:
III e IV, apenas

Answer 1

Olá,

Segue a definição de transformação linear:

Sejam V e W espaços vetoriais. Diz-se que T: V → W é uma transformação linear se satisfaz as duas propriedades a seguir:

1. Para quaisquer u,v ∈ U: T(u+v) = T(u) + T(v).
2. Para qualquer k ∈ R e qualquer v ∈ U: T(kv) = k · T(v).

Vamos verificar se as aplicações dadas são transformações lineares:

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

I. T: R → R tal que T(x) = x.

1. Sejam u,v ∈ R: T(u+v) = u + v = T(u) + T(v).
2. Sejam k ∈ R e v ∈ R: T(kv) = kv = k · T(v).

Logo, T satisfaz as duas propriedades e é uma transformação linear. Portanto, a afirmação I é verdadeira.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

II. T: R² → R tal que T(x,y) = xy.

1. Sejam (u,v), (p,q) ∈ R²: T((u,v)+(p,q)) = T((u+p, v+q)) =(u+p)(v+q) = uv+uq+pv+pq≠ uv + pq = T(u,v) + T(p,q).

Logo, como T não satisfaz a propriedade, não é uma transformação linear. Portanto, a afirmação II é falsa.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

III. T: R → R² tal que T(x) = (x,1).

1. Sejam u,v ∈ R: T(u+v) = (u + v, 1) ≠ (u + v , 2) = (u, 1) + (v, 1) = T(u) + T(v).

Logo, como T não satisfaz a propriedade, não é uma transformação linear. Portanto, a afirmação III é verdadeira.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

IV. T: R² → R² tal que T(x,y) = (x+y, x).

1.  Sejam (u,v), (p,q) ∈ R²: T((u,v)+(p,q)) = T(u+p, v+q) = (u+p+v+q, u+p) = (u+v+p+q, u+p) = (u+v, u) + (p+q, p) = T(u,v) + T(p,q)
2. Sejam k ∈ R e (u,v) ∈ R: T(k(u,v)) = T((ku,kv))=(ku+kv, ku) = (k(u+v),ku) = k(u+v,u)= k·T(u,v).

Logo, T satisfaz as duas propriedades e é uma transformação linear. Portanto, a afirmação IV é falsa.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Segue que as afirmações I e III são corretas. Dessa forma, a princípio nenhuma alternativa está correta. o.O

Qualquer dúvida, basta comentar. Espero ter ajudado =D