Question

Uma torre de 50m de altura é sustentada por três cabos como mostra a figura. É dado que os módulos das forças são F1 = 30kN, F2 = 40kN e F3 = 25kN.

Determine:

a)o vetor resultante dessas forças

b)o módulo da resultante

Answer 1

O vetor resultante das forças atuantes na torre terá componentes cartesianas 25,99i + 55,18k - 78,36k kN, e módulo de 99,30 kilo-Newtons.

a) Vamos trabalhar com cada um dos vetores individualmente primeiro:

Vetor F1:

O vetor F1, conforme vemos na figura, é paralelo ao semi-plano ik, logo ele terá ângulos diretores apenas nesse mesmo semi-plano.

Olhando novamente para a figura, vemos que temos:

tgα = OB/OA = 25/50 = 0,5

α = arc tg (0,5) = 26,57º

Sendo assim, podemos representar essa força, em coordenadas cartesianas como:

F1 = (|F1|*senα)i - (|F1|cosα)k

F1 = (30*sen26,57º)i - (30*cos26,57º)k

F1 = 13,42i - 26,83k kN

Importante frisar que o sinal negativo é baseado na orientação do vetor F1 da figura.

Vetor F2:

Agora temos um vetor com componentes nas três dimensões i,j e k. Vai ser um pouco mais trabalhoso que o vetor F1 anterior, mas o princípio é o mesmo. Primeiro calcularemos os ângulos diretores:

Entre o vetor F2 e o eixo i temos o ângulo α:

tgα = 25/50 = 0,5

α = 26,57º (mesmo valor que calculamos anteriormente)

Entre o vetor F2 e o eixo j temos o ângulo β:

tgβ = 40/50 = 0,8

β = arc tg (0,8) = 38,66º

E entre o vetor F2 e o eixo k temos o ângulo γ:

tgγ = OC/OA

Para calcularmos OC basta encontrarmos a hipotenusa do triângulo retângulo onde os catetos são OB e BC:

OC² = OB² + BC² = 25² + 40² = 625 + 1600 = 2225

OC = √(2225) = 47,17m

Voltando:

tgγ = OC/OA = 47,17/50 = 0,94

γ = arc tg (0,94) = 43,23º

Portanto, podemos representar o vetor F2 em coordenadas cartesianas da seguinte forma:

F2 = (|F2|cosα)i + (|F2|cosβ)j - (|F2|cosγ)k

F2 = (40*cos26,57º)i + (40*cos38,66º)j - (40*cos43,23º)k

F2 = 35,78i + 31,23j - 29,14k kN

Novamente, o valor negativo no vetor k é referente à orientação do vetor F2 na figura.

Vetor F3:

Novamente vamos ter um vetor tridimensional. Aplicaremos o mesmo método que utilizamos anteriormente no vetor F2. Os ângulos diretores serão dados por:

Entre F3 e o eixo i temos o ângulo α:

tgα = 20/50 = 0,4

α = arc tg (0,4) = 21,80º

Entre o vetor F3 e o eixo j temos o ângulo β:

tgβ = 15/50 = 0,3

β = arc tg (0,3) = 16,70º

E, por fim, entre o vetor F3 e o eixo k temos o ângulo γ:

tgγ = OD/OA

Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo entre OD, D e o eixo i e D e o eixo j:

OD² = Di² + Dj² = 20² + 15² = 400 + 225 = 625

OD = √(625) = 25m

Voltando:

tgγ = OD/OA = 25/50 = 0,5

y = arc tg (0,5) = 26,57º

Portanto, o vetor F3 será representando, em coordenadas cartesianas, como sendo:

F3 = -(|F3|cosα)i + (|F3|cosβ)j - (|F3|cosγ)k

F3 = -(25*cos21,80º)i + (25*cos16,70º)j - (25*cos26,57º)k

F3 = -23,21i + 23,95j - 22,36k kN

Lembrando que os sinais negativos tem como base a orientação do vetor F3 na figura da questão.

Agora vem as partes mais simples, já que encontramos todos os vetores em suas coordenadas cartesianas. O vetor Força-resultante será a soma dos três vetores-força atuantes na torre, ou seja:

Fr = F1 + F2 + F3

Lembrando que na soma de vetores de mesma base basta somarmos as respectivas coordenadas:

Fr = (13,42i - 26,83k) + (35,78i + 31,23j - 29,14k) + (-23,21i + 23,95j - 22,36k)

Separando cada coordenadas:

Fr = (13,42 + 35,78 - 23,21)i + (31,23 + 23,95)j + (-26,83 - 29,14 - 22,36)k

Fr = 25,99i + 55,18k - 78,36k kN

b) O módulo do vetor resultante que calculamos anteriormente pode ser calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes individuais:

|Fr| = √[25,99² + 55,18² + (-78,36)²] = √(675,48 + 3044,83 + 6140,29)

|Fr| = √(9860,60) = 99,30 kN

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