Question

Uma torneira enche um tanque em 12 horas. Outra torneira enche o mesmo tanque em 15 horas. Sabendo que as duas torneiras foram abertas simultaneamente, que o tanque estava vazio quando as torneiras foram abertas e que ao se atingir metade da capacidade do tanque a segunda torneira foi fechada, qual o tempo total para encher o tanque?

Quem colocar besteira vai ser denunciado.

Grato a quem ajudar!

Answer 1

Para facilitar os cálculos, suponha que a capacidade do tanque seja

     C = 60 litros = mmc(12, 15).


     •  A torneira 1 enche o tanque de 60 litros em 12 horas. Logo, a vazão dessa torneira é

        $\mathsf{v_1=\dfrac{60~L}{12~h}}$

        $\mathsf{v_1=5~L/h}$        ✔


     •  A torneira 2 enche o tanque de 60 litros em 15 horas. Logo, a vazão dessa torneira é

        $\mathsf{v_2=\dfrac{60~L}{15~h}}$

        $\mathsf{v_2=4~L/h}$        ✔


Com as duas torneiras abertas simultaneamente, a vazão resultante é a soma das vazões individuais de cada uma:

     $\mathsf{v=v_1+v_2}\\\\ \mathsf{v=5+4}$

     $\mathsf{v=9~L/h}$       ✔


a) Quanto tempo leva para que as duas torneiras juntas encham metade do tanque, isto é, 30 litros?

     $\mathsf{t_1=\dfrac{~\frac{C}{2}~}{v}}\\\\\\ \mathsf{t_1=\dfrac{~\frac{C}{2}~}{v_1+v_2}}\\\\\\ \mathsf{t_1=\dfrac{30~L}{9~L/h}}\\\\\\ \mathsf{t_1=\dfrac{10}{3}~h}\\\\\\ \mathsf{t_1=\dfrac{9+1}{3}~h}\\\\\\ \mathsf{t_1=\left(\dfrac{9}{3}+\dfrac{1}{3}\right)~h}\\\\\\ \mathsf{t_1=\left(3+\dfrac{1}{3}\right)~h}\\\\\\ \mathsf{t_1=3~h+\dfrac{1}{3}\cdot (60~min)}$

     $\mathsf{t_1=3~h~20~min}$        ✔


b) Em seguida, a torneira 2 foi fechada. Quanto tempo a torneira 1 leva para encher sozinha a outra metade do tanque?

     $\mathsf{t_2=\dfrac{~\frac{C}{2}~}{v_1}}\\\\\\ \mathsf{t_2=\dfrac{30~L}{v_1}}\\\\\\ \mathsf{t_2=\dfrac{30~L}{5~L/h}}$

     $\mathsf{t_2=6~h}$        ✔


Logo, o tempo total para encher o tanque é

     $\mathsf{t=t_1+t_2}\\\\ \mathsf{t=(3~h~20~min)+(6~h)}$

     $\mathsf{t=9~h~20~min\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


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Bons estudos! :-)