Question

Uma taxa diária de 0,1% composta equivalente a qual taxa anual?

Answer 1

No regime de capitalização composta, o montante de uma aplicação é dado por:

$\boxed{Montante~=~Capital\cdot(1+Taxa)^{Periodo}}$

Para duas taxas equivalentes, um mesmo capital gera, também, um mesmo montante em períodos equivalentes.

$Montante~=~Capital\cdot(1+Taxa_{diaria})^{Periodo_{diario}}\\\\\\Montante~=~Capital\cdot(1+Taxa_{anual})^{Periodo_{anual}}$

Assim, igualando os dois montantes, chegamos a uma equação para a equivalência de taxas:

$Capital\cdot(1+Taxa_{diaria})^{Periodo_{diario}}=Capital\cdot(1+Taxa_{anual})^{Periodo_{anual}}$

$\boxed{(1+Taxa_{diaria})^{Periodo_{diario}}=(1+Taxa_{anual})^{Periodo_{anual}}}$

Para utilizarmos a equação precisamos equivaler os períodos, ou seja, o período diário deve ser equivalente ao período anual.

Comercialmente, 1 ano possui 12 meses de 30 dias, ou seja, 360 dias.

Com isso, substituindo os dados na equação, temos:

$\left(1+\dfrac{0,1}{100}\right)^{360}=(1+Taxa_{anual})^{1}\\\\\\\underbrace{\left(1,001\right)^{360}}_{\approx~1,4331}=(1+Taxa_{anual})\\\\\\1,4331~\approx~1+Taxa_{anual}\\\\\\Taxa_{anual}~\approx~1,4331-1\\\\\\\boxed{Taxa_{anual}~\approx~0,4331}\\\\\\Percentualmente~fica:\\\\\\Taxa_{anual}~\approx~0,4331\cdot100\%\\\\\\\boxed{Taxa_{anual}~\approx~43,31\%\,a.a}$