Question

Uma tapeçaria produz determinado modelo padrão de tapete, em formato de polígono regular. Um comerciante encomendou dessa tapeçaria outro modelo de tapete, também em formato de polígono regular, porém com dois lados a mais do que o modelo padrão fabricado pela tapeçaria. Feitos os cálculos corretos, o Setor de Produção da fábrica concluiu que, para atender ao pedido do comerciante, cada um dos ângulos internos do novo modelo de tapete encomendado deverá medir 6° a mais do que cada ângulo interno do modelo padrão até então produzido. Quantos lados terá esse novo modelo de tapete? A. 9 B. 10 C. 12 D. 15 E. 18

Answer 1

Suponha que o primeiro polígono regular possua n lados, com a fórmula abaixo podemos calcular a soma dos seus ângulos internos:

$S_i = 180(n-2)$

Porém, se quisermos saber a medida de um ângulo individual, dividimos o valor encontrado acima pela quantidade de lados que ele possui, que neste caso é n.

(1)

$a_i = \dfrac{180(n-2)}{n}$

Agora, no novo polígono, a quantidade de lados passa a ser (n + 2), logo seu ângulo interno será calculado da seguinte forma:

(2)

$a_i = \dfrac{180((n+2)-2)}{n+2} \rightarrow a_i = \dfrac{180n}{n+2}$

Como ele tem 6 graus a mais que o do polígono de n lados, somamos 6 a fórmula (1) e igualamos a (2).

$\dfrac{180(n-2)}{n} + 6 = \dfrac{180n}{n+2}$

Para resolver tiraremos o MMC de n e n+2, que é simplesmente um produto dos dois polinômios.

$\dfrac{180(n-2)(n+2)+ 6n(n+2)}{n(n+2)} = \dfrac{180n^2}{n(n+2)}\\\\180(n-2)(n+2)+ 6n(n+2) = 180n^2\\\\180(n^2 - 4) + 6n^2 + 12n = 180n^2\\\\180n^2 - 720 + 6n^2 + 12n = 180n^2\\\\6n^2 -720+12 = 0\\\\6n^2 +12n - 720 = 0 \\\\n^2 + 2n -120 = 0$

Encontramos uma equação de 2º grau que resolveremos com Bhaskara.

$\Delta = 2^2 - 4.1.(-120)\\\Delta = 4 + 480\\\Delta =484\\\sqrt{\Delta} = 22$

$n_1 = \dfrac{-2+22}{2.1} = 10\\\\n_2 = \dfrac{-2-22}{2.1} = -12$

Como não podemos ter um número negativo de lados, achamos que n = 10. Ou seja, o primeiro polígono tinha 10 lados. O segundo terá então 10 + 2 = 12 lados.

Resposta: Letra C.

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