Question

Uma série numérica pode ser definida como a soma dos termos de uma sequência. Quanto a convergência e divergência entre séries e sequências, é correto afirmar que:

a)Quando a série é divergente, a sequência também é divergente.

b)Quando a sequência é convergente, a série também é convergente.

c)Quando a a série é convergente, a sequência converge para 1.

d) Quando a sequência é divergente, a série também é divergente.

Answer 1

Vamos estudar caso a caso:

A) Falsa

Podemos tomar um contra-exemplo: a série harmônica, dada por

$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}$

é uma série divergente, porém $a_{n}=\frac{1}{n}$ é uma sequência convergente, pois $a_{n}\longrightarrow0$ quando $n\longrightarrow\infty$

B) Falsa

O exemplo dado acima também é um contra-exemplo para essa alternativa, pois $a_{n}=\frac{1}{n}$ converge mas $\sum\limits_{n\ge1}a_{n}$ não converge.

c) Falsa

A alternativa é falsa pelo seguinte teorema:

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\ell\in\mathbb{R}~~~\Longrightarrow~~~\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$

Logo, se a série converge, então a sequência $a_{n}$ converge para 0, e não para 1.

d) Verdadeira

Como vimos acima, temos que

$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\ell\in\mathbb{R}~~~\Longrightarrow~~~\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$

Então, sabemos que

$\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\neq0~~~\Longrightarrow~~~\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}~\mathsf{n\~ao~converge}$

Um caso particular de $\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\neq0$ é o caso do limite não existir, isto é, da sequência ser divergente

Portanto, se a sequência $a_{n}$ diverge, então a série $\sum\limits_{n\ge1}a_{n}$ diverge.