Question

Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,..., en,...) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n2 + 6n. O quarto termo dessa sequência é igual a

Answer 1

O primeiro termo é igual a “x”, o segundo igual a “x + r”, sendo “r” o aumento gradual da sequência, conhecido como razão. Temos o terceiro termo igual a “x + r + r”, e por fim, o quarto igual a “x + r + r + r”. Um exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11... Aumenta 3 unidades de um termo para outro, então essa é a razão, o primeiro termo é x, e x = 2, o 2º termo é x + r, no caso, 2 + 3 = 5. O terceiro, x + r + r = 2 + 3 + 3 = 8. Por isso, temos: 1º termo = x 2º termo = x + r 3º termo = x + 2r 4º termo = x + 3r Então temos a soma igual a n2 + 6n. Primeiro a soma dos dois primeiros termos, como são dos dois primeiros n = 2; n2 +  6n = 22 + 6 . 2 = 4 + 12 = 16 E a soma dos dois primeiros termos é: x + (x + r) x + x + r = 16 [pois a soma é 16] 2x + r = 16 r = 16 – 2x [o 2x passa pro 2º termo com sinal trocado] Temos isso, e por fim, a soma dos quatro primeiros termos: n2 + 6n = 42 + 6 . 4 = 16 + 24 = 40 A soma dos quatro primeiros termos é igual a 40. Então: x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) = 40 x + x + r + x + 2r + x + 3r = 40 x + x + x + x + r + 2r + 3r = 40 4x + 6r = 40 [lembre-se r = 16 – 2x] 4x + 6 . (16 – 2x) = 40 4x + 96 – 12x = 40 4x – 12x = 40 – 96 [o 96 passa pro 2º termo com sinal trocado] - 8x = -56 x = -56 : (-8) [o -8 passa dividindo] x = 7 Temos o valor de “x”, agora, valor de “r”: r = 16 – 2x r = 16 – 2 . (7) r = 16 – 14 r = 2 Temos a razão, agora fica fácil o 4º termo: x + 3r 7 + 3 . 2 7 + 6 = 13  Resposta: Letra D) 13 é o quarto termo.

Answer 2

Resposta: 13.

Explicação passo a passo:

Sendo $(S_n)$ a sequência das somas parciais dos n primeiros termos da sequência $(e_n)$ com $n\in\mathbb{N^*},$ vale a relação de recorrência abaixo:

$S_n=\left\{\begin{array}{ll}e_1,&\quad\mathrm{se~}n=1\\\\ S_{n-1}+e_n,&\quad\mathrm{se~}n>1\end{array}\right.$

Em particular, para n > 1, vale

$e_n=S_n-S_{n-1}$

Para esta tarefa, temos $S_n=n^2+6n.$ Logo, o quarto termo da sequência $(e_n)$ é obtido fazendo n = 4 na igualdade acima:

$e_4=S_4-S_3\\\\ =(4^2+6\cdot 4)-(3^2+6\cdot 3)\\\\ =(16+24)-(9+18)\\\\ =40-27\\\\ =13\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Bons estudos!