Uma sequência de números inteiros é construída do seguinte modo. Os três primeiros números são 2001, 2002 e 2003. O quarto número é a soma do primeiro e do segundo subtraída do terceiro número. Ou seja o quarto número é 2001+2002-2003=2000. De modo análogo, o quinto número é a soma do segundo e do terceiro subtraída do quarto número. Ou seja, o quinto número é 2002+2003-2000=2005. Continuando desse modo, para acrescentar um número na sequência deve ser somado o antepenúltimo com o penúltimo e dessa soma deve ser subtraído o último elemento já escrito na sequência. Determine o 2022o termo da sequência
Soluções para a tarefa
-18 é o 2022º termo da sequência cujos cinco primeiros termos são 2001, 2002, 2003, 2000, 2005.
Progressão aritmética
Nesta questão temos uma sequência que é composta por duas progressões aritméticas intercaladas. Assim, utilizaremos a fórmula do termo geral da PA, que é:
An = A1 + (n - 1)r, onde A1 é o primeiro termo, n representa a posição ocupada por An e r é a razão.
Assim, utilizando a lógica fornecida pelo enunciado, vamos obter os próximos termos desta sequência:
A6: 2003 + 2000 - 2005 = 1998
A7: 2000 + 2005 - 1998 = 2007
A8: 2005 + 1998 - 2007 = 1996
A9: 1998 + 2007 - 1996 = 2009
A10: 2007 + 1996 - 2009 = 1994
Assim, até o décimo termo temos a seguinte sequência: 2001, 2002, 2003, 2000, 2005, 1998, 2007, 1996, 2009, 1994. Perceba que os números que ocupam posições ímpares estão aumentando em 2 e que os termos que ocupam posições pares estão diminuindo em 2. Ou seja, temos duas progressões intercaladas de razão 2 e -2, respectivamente.
Assim, precisaremos tratar as progressões como distintas, no entanto devemos ter em mente que elas estão em uma sequência só, para a obtenção do resultado. Logo, temos as seguintes progressões:
Progressão 1 (números de posição ímpar): A1 = 2001; A2 = 2003; A3 = 2005; A4 = 2007; A5 = 2009. Razão 2;
Progressão 2 (números de posição par): A1 = 2002; A2 = 2000; A3 = 1998; A4 = 1996; A5 = 1994. Razão -2.
Assim, queremos o 2022º termo, que é um número par, ou seja, utilizaremos a progressão 2. No entanto, como a sequência original foi divida em duas progressões, com metade dos termos em cada uma das progressões, iremos dividir 2022 por dois. Logo:
2022 ÷ 2 = 1011
Assim, ao encontrarmos o termo 1011 da progressão 2, estaremos encontrando o termo 2022 da sequência original. Utilizando a fórmula do termo geral, temos que:
An = A1 + (n - 1)r
An = 2002 + (1011 - 1) × (-2)
An = 2002 + 1010 × (-2)
An = 2002 - 2020
An = -18
Desta forma, descobrimos que -18 é o 2022º termo da sequência.
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