Uma sequência de números inteiros é construída do seguinte modo. Os três primeiros números são 2001, 2002 e 2003. O quarto número é a soma do primeiro e do segundo subtraída do terceiro número. Ou seja o quarto número é 2001 2002-2003=2000. De modo análogo, o quinto número é a soma do segundo e do terceiro subtraída do quarto número. Ou seja, o quinto número é 2002 2003-2000=2005. Continuando desse modo, para acrescentar um número na sequência deve ser somado o antepenúltimo com o penúltimo e dessa soma deve ser subtraído o último elemento já escrito na sequência. Determine o termo da sequência
Soluções para a tarefa
Considerando a sequência fornecida pode-se concluir que o 2022º termo da sequência é -18.
Progressões aritméticas
Esta questão envolve progressões aritméticas e, para resolvê-la utilizaremos a fórmula do termo geral da PA, que é:
An = A1 + (n - 1)r, onde A1 é o primeiro termo da progressão, n representa a posição ocupada por An e r representa a razão.
Assim, sabemos pelo enunciado que os cinco primeiros termos da nossa sequência são 2001, 2002, 2003, 2000, 2005. Sabemos também que cada termo seguinte é calculado pela subtração do termo anterior da soma do penúltimo e antepenúltimos termos, ou seja, os termos seguintes são:
Termo 6: 2003 + 2000 - 2005 = 1998
Termo 7: 2000 + 2005 - 1998 = 2007
Termo 8: 2005 + 1998 - 2007 = 1996
Termo 9: 1998 + 2007 - 1996 = 2009
Termo 10: 2007 + 1996 - 2009 = 1994
Assim, até o décimo termo temos a sequência 2001, 2002, 2003, 2000, 2005, 1998, 2007, 1996, 2009, 1994. Observe que podemos identificar que esta sequência é, na verdade, constituída por duas progressões aritméticas distintas, com os elementos de ordem ímpar (termos 1, 3, 5...) apresentando razão 2, enquanto os termos de ordem par (termos 2, 4, 6...) apresentam razão -2.
Desta forma, temos duas progressões distintas:
- Progressão 1: (A1 = 2001; A2 = 2003; A3 = 2005; A4 = 2007; A5 = 2009), razão 2;
- Progressão 2: (A1 = 2002; A2 = 2000; A3 = 1998; A4 = 1996; A5 = 1994), razão -2.
Assim, para resolver este problema precisaremos tratar as progressões como independentes, mas lembrando que elas estão intercaladas. Então, se queremos encontrar o termo 2022, sabemos que ele estará na progressão dos termos de ordem par, no entanto, como queremos o termo 2022 da sequência como todo e estaremos trabalhando apenas com metade da sequência, precisamos dividir 2022 por 2. Logo:
2022 ÷ 2 = 1011
Agora, podemos encontrar o termo 1011 da progressão com os termos de ordem par, utilizando a fórmula do termo geral. Assim:
An = A1 + (n - 1)r
An = 2002 + (1011 - 1) × (-2)
An = 2002 + 1010 × (-2)
An = 2002 - 2020
An = -18
Assim, descobrimos que o 1011º termo da progressão que envolve os termos de ordem par é -18. Este termo corresponde ao 2022º termo da sequência fornecida pelo enunciado da questão.
Percebi que a questão está incompleta. Acho que a questão completa é essa:
"Uma sequência de números inteiros é construída do seguinte modo. Os três primeiros números são 2001, 2002 e 2003. O quarto número é a soma do primeiro e do segundo subtraída do terceiro número. Ou seja o quarto número é 2001+2002-2003=2000. De modo análogo, o quinto número é a soma do segundo e do terceiro subtraída do quarto número. Ou seja, o quinto número é 2002+2003-2000=2005. Continuando desse modo, para acrescentar um número na sequência deve ser somado o antepenúltimo com o penúltimo e dessa soma deve ser subtraído o último elemento já escrito na sequência. Determine o 2022º termo da sequência."
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