Question

Uma secretária deve guardar 4 documentos diferentes em 4 pastas, uma de cada cor, sendo um documento por pasta. Em seguida, colocar as pastas em uma prateleira, uma sobre a outra de forma que duas determinadas pastas fiquem sempre juntas, uma sobre a outra. De quantas maneiras a secretária pode organizar os documentos em suas pastas na prateleira? (A) 192 (B) 144 (C) 120 (D) 96 (E) 288

Answer 1

Precisamos dividir o problema em duas partes.

Note que antes de organizar as pastas na prateleira, temos diversas formas diferentes de guardar os documentos.

ex.: Doc1 na pasta amarela e Doc2 na pasta Verde ou Doc1 na pasta vermelha e Doc2 na pasta Azul ...

Temos 4 pastas e 4 documentos. Perceba que, para guardar estes documentos nas pastas, estaremos obedecendo uma ordem, ou seja, há diferença, por exemplo, de guardar o Doc1 na pasta Verde ou na pasta amarela.

Sendo assim, podemos utilizar um arranjo de 4 elementos (documentos) organizados em 4 posições (pastas), logo:

$Formas~de~organizar~os~documentos~=~A_{4,4}\\\\\\Formas~de~organizar~os~documentos~=~\dfrac{4!}{(4-4)!}\\\\\\Formas~de~organizar~os~documentos~=~\dfrac{4!}{0!}\\\\\\Formas~de~organizar~os~documentos~=~\dfrac{24}{1}\\\\\\\boxed{Formas~de~organizar~os~documentos~=~24~formas}$

Agora vamos seguir para a segunda parte do exercício.

Temos 4 pastas para serem ordenadas, ou seja, utilizaremos novamente um arranjo.

Note, no entanto, que é dito que duas das pastas estarão sempre juntas, ou seja, podemos considerar estas duas pastas como se fosse apenas uma, podemos pensar que estas pastas estão guardadas dentro de outra pasta.

Dessa forma, teremos um arranjo de de 3 elementos (3 pastas) ordenadas em 3 posições (lugares na prateleira), logo:

$Formas~de~organizar~a~Prateleira~=~A_{3,3}\\\\\\Formas~de~organizar~a~Prateleira~=~\dfrac{3!}{(3-3)!}\\\\\\Formas~de~organizar~a~Prateleira~=~\dfrac{3!}{0!}\\\\\\Formas~de~organizar~a~Prateleira~=~\dfrac{6}{1}\\\\\\\boxed{Formas~de~organizar~a~Prateleira~=~6~formas}$

Por fim, as duas pastas que estão sempre juntas podem ser organizadas também. Podemos ter Pasta1 sobre Pasta2 ou Pasta2 sobre a Pasta1, ou seja, um arranjo A(2,2) que totalizam 2 formas diferentes.

Sendo assim, o numero total de formas de organizar estes documentos em pastas na prateleira é:

$Total~=~24~.~6~.~2\\\\\\\boxed{Total~=~288~formas}$