Question

Uma rodovia foi projetada considerando uma infraestrutura urbana. Para isso efetuaram-se algumas medições, anotando-se em um desenho. Sendo CB // DE, assinale a alternativa correta. *

a) O lado AB é maior que o lado AC.

b) DA é maior que EB.

c) AD + AE = 15 m

d) AC + AB = 35 m

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Answer 1

Note que a rodovia projetada, possui semelhança entre dois triângulos. Para encontrarmos as medidas, devemos utilizar o Teorema de Tales.

O Teorema de Tales diz que se há duas retas transversais que se interseccionam com duas retas paralelas, formam uma relação de proporcionalidade.  

Diante disto, podemos relacionar as medidas entre as transversais $\overline{AB}$ e $\overline{AC}$, ou seja: $\overline{CD}$ está para $\overline{AD}$, assim como $\overline{BE}$ está para $\overline{AE}$. Isso, se traduz em:

$\large{\frac{\overline{CD}}{\overline{AD}}=\frac{\overline{BE}}{\overline{AE}}}\\\\\large{\frac{x+5}{2x-6}=\frac{x+2}{x-1}}\\\\\large{(x+5)\times (x -1) = (x +2) (2x - 6)}\\\\\large{x\times x+x\times (-1) + 5\times x + 5\times (-1) = x\times 2x + x\times (-6) + 2\times 2x + 2\times (-6)}\\\\\large{x^{2}-x+5x-5=2x^{2}-6x+4x-12} \\\\\large{x^{2}+4x-5=2x^{2}-2x-12}\\\\\large{2x^{2}-2x-12-x^{2}-4x+5=0}\\\\\large{x^{2}-6x-7=0}$

Resolvendo a equação de 2º grau:

$\large{\Delta=b^{2}-4\times a\times c}\\\\\large{\Delta=(-6)^{2}-4\times 1\times (-7)}\\\\\large{\Delta=36 + 28}\\\\\large{\Delta=64}$

$\large{x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2\times a}} \\\\\large{x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{64} }{2\times 1}} \\\\\large{x=\frac{6\pm8 }{2}}$

Encontrando as raízes $x_1$ e $x_2$:

$\large{x_1=\frac{6+8}{2} }\\\\\large{x_1=\frac{14}{2} }\\\\\large{x_1=7 }$

$\large{x_2=\frac{6-8}{2} }\\\\\large{x_2=\frac{-2}{2} }\\\\\large{x_2=-1 }$ ⇒ como não existe medida negativa, DESCARTAMOS esta raíz.

Substituindo o valor de x=7 em cada segmento de reta, temos:

• $\overline{CD}$ = x + 5 = 7 + 5 = 12
• $\overline{AD}$ = 2x - 6 = 2 × 7 - 6 =  14 - 6 = 8
• $\overline{BE}$ = x + 2 = 7 + 2 = 9
• $\overline{AE}$ = x - 1 = 7 - 1 = 6

Analisando as alternativas:

a) O lado AB é maior que o lado AC:

$\overline{AB}$ = $\overline{AE}$ + $\overline{BE}$ = 6 + 9 = 15

$\overline{AC}$ = $\overline{AD}$ + $\overline{CD}$ = 8 + 12 = 20

→ FALSO, pois $\overline{AC}$ >$\overline{AB}$!

b) DA é maior que EB.

$\overline{AD}$ = 8

$\overline{BE}$ = 9

→ FALSO, $\overline{BE}$ > $\overline{AD}$  !

c) AD + AE = 15 m

$\overline{AD}$ = 8

$\overline{AE}$ = 6

$\overline{AD}$ + $\overline{AE}$  = 8 + 6 = 14 m

→ FALSO!

d) AC + AB = 35 m

$\overline{AC}$ = 20

$\overline{AB}$  = 15

$\overline{AC}$ + $\overline{AB}$ = 20 + 15 = 35 m

→ CORRETO!!!

Resposta:

Portanto, a alternativa correta é a alternativa D!

Se quiser saber mais, acesse:

brainly.com.br/tarefa/397230

Bons estudos e até a próxima!

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