Question

-Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800rev/min em torno de um eixo cujo momento de inércia é desprezível. Uma segunda roda, inicialmente em repouso e com um momento de inércia duas vezes maior que a primeira, é acoplada à mesma haste. (a) Qual é a velocidade angular da combinação resultante do eixo e as duas rodas? (b) Que fração da energia cinética de rotação inicial é perdida?

Answer 1

De forma análoga à dinâmica de translação, se fizermos:
$\displaystyle \int \vec{\tau} dt=\vec{L}$
obtemos o momento angular. (enquanto no primeiro caso encontraríamos o momento linear)

O momento angular se conserva, assim como o momento linear, desse modo o momento angular do sistema inicial roda 1 com velocidade angular 800rpm deve ser igual ao momento do sistema roda 1 roda 2:
$\displaystyle \vec{L}_1=\vec{L}_{(12)}$

O módulo do torque é dado por
$\displaystyle \tau=I\alpha$ (momento de inércia x aceleração angular)
integrando em relação a t para obter o momento encontraremos
$\displaystyle \int \tau dt=\int I\alpha dt=I\omega=L$
ou seja:
$L=I\cdot 800rpm$ (vou omitir as unidades para facilitar o cálculo)
$\displaystyle i)~~~~I_1800=(I_1+I_2)\omega_f\\\\ii)~~~I_1800=(I_1+2I_1)\omega_f\\\\iii)~~\frac{800}{3}=\omega_f\\\\iv)~\omega_f\approx 266,67rpm$

A nova velocidade angular do sistema será aproximadamente 266,67 rotações por minuto.

b)
A energia cinética de rotação de um sistema é o trabalho realizado por cada partícula que gira em torno de um eixo central de rotação. Encontramos sua fórmula seguindo os passos abaixo:
$\displaystyle i)~~~~W=\int \vec{\tau}\cdot d\vec{\theta}=\int I\alpha d\theta\\\\d\theta=\omega dt~~~~~~~~~~\alpha=\frac{d\omega}{dt}\\\\ii)~~~W=\int I\alpha d\theta=\int I\frac{d\omega}{dt}\omega dt=\int I\omega d\omega=\frac{1}{2}I\omega^2 +c$
que é bem semelhante à fórmula de energia cinética da mecânica de translação (1/2mv²)
Por essa relação encontrada vemos que a energia cinética é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade angular:
$K\propto \omega^2$
a energia inicial do sistema (desconsiderando o momento de inércia)
$\displaystyle K_1=\frac{1}{2}I(800)^2=I320000~u.e.$
e a energia final é 
$\displaystyle K_2=\frac{3}{2}I(266,6)^2=I106666,6~u.e.$
(u.e. é unidade de energia)
calculamos então que:
$\displaystyle \sigma_k=\frac{K_2}{K_1}=\frac{I106666,6~u.e.}{I320000~u.e.}=\frac{106666,6}{320000}\approx0,333=33,3\%$
aproximadamente 33,3% da energia inicial do sistema foi dissipada.

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Bons estudos! :)

Answer 2

a) Podemos afirmar que a velocidade angular da combinação resultante do eixo e as duas rodas nova velocidade angular do sistema será aproximadamente 266,67 rotações por minuto.

Sob esse aspecto, podemos ainda firmar que o momento angular se conserva, do mesmo modo como o momento linear, sendo assim o momento angular do sistema inicial roda 1 com velocidade angular 800 rpm e deverá ser igual ao momento do sistema roda 1 roda 2.

b) Podemos afirmar que a fração da energia cinética de rotação inicial é perdida é de aproximadamente 33,3% da energia inicial do sistema.

Como sabemos, a energia cinética de rotação de um sistema equivale ao trabalho realizado por cada partícula que gira em torno de um eixo central de rotação.  

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