Question

uma reta t passa pela origem do sistema cartesiano e forma com r : x-3=0 e s: 2x+y=6 um triangulo de area1,5. A equação de t é?

Answer 1

Vai anexa uma figura auxiliar.

Traçando as retas r e s vemos que elas têm um ponto em comum, o A=(3,0). Chamando de B e C os pontos em comum entre t e s e t e r, respectivamente, encontramos:

$\mathrm{Na \ reta \ t:} \\ \\ y_B=a.x_B \\ \\ \mathrm{Substituindo \ em \ s:} \\ \\ 2x_B+a.x_B=6 \Rightarrow \boxed{x_B=\frac{6}{2+a}}$

Na reta r:
$x_C=3 {\mathrm{em} \ t \atop \Longrightarrow} \boxed{y_C=a.3}$

Agora temos um triângulo, cuja área é conhecida. Tomando como base o segmento AC temos que a altura vale $x_A-x_B$ e a base, $y_C-y_A$. Substituindo os valores encontramos:

$S=\frac{bh}{2} \Rightarrow 2.1,5=3a\left( 3-\frac{6}{2+a} \right) \Rightarrow a\frac{3a}{2+a}=1 \Rightarrow 3a^2-a-2=0$

Resolvendo a equação do 2º grau acima encontramos que a=1 ou a=-2/3, daí:

$\boxed{\boxed{t: \ y=\frac{-2x}{3}} \ \mathrm{ou} \ \boxed{t: \ y=x}}$