Question

Uma reta r passa pelos pontos A(2, - 3) e B(1, 2). Outra reta s passa pelo ponto P(- 2, 1) e é paralela à reta r. Calcule a distância entre as retas r e s.

Resposta: d(r,s)=(8√26)/13

Como faço esse cálculo ?

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Como podemos observar na figura, a reta r é o gráfico de uma função afim.

Se r//s, então a função r tem o mesmo declive que a função s.

Para calcular o declive de uma função afim são necessários dois pontos, que no caso são os pontos A e B.

Logo,

$a = \frac{ -3 - 2}{2 - 1} = \frac{ - 5}{1} = - 5$

Mas, sabemos que a expressão algébrica de uma função afim é f(x) = ax + b. Para calcular o b precisamos de utilizar uma equação substituindo os valores f(x) e a pelas coordenadas de um ponto qualquer da função.

Utilizaremos o ponto A.

$2 = - 5 \times 1 + b \\ 2 = - 5 +b \\ 7 = b$

Com isso concluímos que a função da reta r é f(x) = 5x + 7.

Como dito antes, duas retas paralelas possuem o mesmo declive, logo a reta que passa pelo ponto P também tem -5 de declive e também será uma função afim. Chame-mos então essa função de g.

g(x)= -5x +B

Para descobrir o b utilizaremos o ponto P, repetindo o passo anterior de substituição.

$1 = - 5 \times - 2 + b \\ 1 = 10 + b \\ - 9 = b$

Logo g(x) = -5x -9

Para calcularmos a distância entre uma reta à outra utilizamos a fórmula da distancia:

$d = \frac{a \times x + b \times y + c}{ \sqrt{ {a}^{2} + {b}^{2} } }$

f: -5-y+7= 0

a=-5

B=-1

c=7

x=-2

y= 1

Substituindo os valores na fórmula obtemos

$d = \frac{ - 5 \times - 2 + - 1 \times 1 + 7}{ \sqrt{ { - 5}^{2} + { - 1}^{2} } } \\ \\ d = \frac{10 - 1 + 7}{ \sqrt{25 + 1} } \\ \\ d = \frac{9 + 7}{ \sqrt{26} } \\ \\ d = \frac{16}{ \sqrt{26} }$

O resultado final ainda pode ser simplificado para a sua resposta.