Question

Uma reta passa pelos pontos A(−12, −13) e B(−2, −5). Determine, nesta reta, um ponto cuja abscissa é 3.

Answer 1

Há diversas formas de se resolver esta questão.

A mais "comum" seria determinar a equação da reta e, posteriormente, substituir o "x" na equação por "3". Substituindo o "x" teríamos como retorno o valor da coordenada "y" correspondente à abscissa, de valor 3, do ponto.

No entanto, como não é pedido a equação da reta, podemos "pular" uma etapa. Perceba que, se o ponto pertence a reta formada pelos pontos A e B, obrigatoriamente estes 3 pontos estarão alinhados (colineares).

Sendo assim, seja o P o ponto mencionado, vamos "impor" que A, B e P estejam alinhados utilizando o método do determinante.

Lembrando, neste método, se os 3 pontos forem colineares, o determinante da matriz formada pelas coordenadas desses pontos (ver abaixo) deve resultar 0 (zero).

$\left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x_P&y_P&1\end{array}\right|~=~0\\\\\\Substituindo~os~dados~fornecidos:\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}-12&-13&1\\-2&-5&1\\3&y_P&1\end{array}\right|~=~0\\\\\\Calculando~o~determinante:$

$(~(-12).(-5).1+(-2).y_P.1+3.(-13).1~)~-~(~1.(-5).3+1.y_P.(-12)+1.(-13).(-2)~)~=~0$

$(~60-2y_P-39~)~-~(\,-15-12y_P+26~)~=~0\\\\\\60-2y_P-39+15+12y_P-26~=~0\\\\\\10y_P+10~=~0\\\\\\10y_P~=~-10\\\\\\y_P~=~\frac{-10}{10}\\\\\\\boxed{y_P~=~-1}$

Sendo assim, o ponto P tem coordenadas (x,y) = (3 , -1)