Question

Uma refinaria de petróleo esta em A na margem norte de um rio reto que tem L= 4 km de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria ate um tanque de armazenamento em B na margem sul do rio, D= 6 km a leste da refinaria. O custo de construção do oleoduto ́e R$ 3×105/km sobre a terra, ate um ponto P na margem norte do rio e R$ 5×105/km sob o rio ate o tanque.

a) Obtenha o custo total de construção do oleoduto, C(x), em função da distancia x ∈ [0,6], entre A e P.
b) Determine os pontos críticos de C em (0,6).
c) Qual o valor de x que minimiza o custo de construção do oleoduto?

Answer 1

Resposta:

a) C(x) = 315x +  525 * $\sqrt{52-12x+x^{2} }$

b)  O ponto crítico é x = 3 por ser o zero da 1ª derivada ; analisar também os extremos do intervalo x = 0  e x = 6

c)  R $  3570, quando x = 3

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Uma refinaria de petróleo esta em A na margem norte de um rio reto que tem L= 4 km de largura. Um oleoduto deve ser construído da refinaria ate um tanque de armazenamento em B na margem sul do rio, D= 6 km a leste da refinaria. O custo de construção do oleoduto ́e R$ 3×105/km sobre a terra, ate um ponto P na margem norte do rio e R$ 5×105/km sob o rio ate o tanque.

a) Obtenha o custo total de construção do oleoduto, C(x), em função da distancia x ∈ [0,6], entre A e P.

b) Determine os pontos críticos de C em (0,6).

c) Qual o valor de x que minimiza o custo de construção do oleoduto?

Resolução:

a)

C(x) = Custo da parte do oleoduto por  terra + Custo parte sob o rio

Para o saber temos que calcular a distância PB

É  a hipotenusa de um triângulo retângulo em que os catetos são:

4 e (6 - x )

$PB^2=4^2+( 6-x)^2$

$PB = \sqrt{16+6^{2} -2*x*6+x^{2} }= \sqrt{52-12x+x^{2} }$

                                           

Custo por terra = 3 * 105 * x = 315x

Custo sob o rio =  525 * $\sqrt{52-12x+x^{2} }$    

C(x) = 315x +  525 * $\sqrt{52-12x+x^{2} }$

b) Pontos críticos de C em ( 0 ; 6)

Calcular a primeira derivada de C(x)

Cálculos auxiliares :

 $Observe --que--(\sqrt{f(x)})' =\frac{(f'(x)}{2*\sqrt{f(x)} }$

e

$( 525*\sqrt{52-12x+x^{2} })' = 525' * \sqrt{52-12x+x^{2} } +525*( \sqrt{52-12x+x^{2}})'$  

$0 * \sqrt{52-12x+x^{2} } +525*\frac{(52-12x+x^{2} )'}{2*\sqrt{52-12x+x^{2} }}$  

$525*\frac{2x-12}{2*\sqrt{52-12x+x^{2} }}=\frac{2*525*(x-6)}{2*\sqrt{x^{2} -12x+52} }=\frac{525*(x-6)}{\sqrt{x^{2} -12x+52} }$  

 $=\frac{525*(x-6)}{\sqrt{x^{2} -12x+52} }$  

fim de cálculos auxiliares

 

$C'(x) =315+\frac{525*(x-6)}{\sqrt{x^{2} -12x+52} }$

C'(x) = 0 ⇒ x = 3

Aos valores dos extremos do intervalo ( 0 ; 6 ) junta-se o valor x = 3,

de quando a primeira derivada é igualada a zero.

Temos três pontos críticos para analisar : 0 ; 3 e 6

C( 0 ) ≈ R $  3785

C ( 3 ) ≈ R $  3570

C ( 6 ) = R $ 3990  

c) x = 3 é o valor que minimiza o custo desta construção.

Que é de   R $  3570, quando x = 3

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicar        ( ⇒ )   implica que     ( ' )  sinal de derivada

( ≈ ) aproximadamente