Question

uma receita determinou que a receita total (em dólares) para um produto pode ser modelada pela função r= -x³ - 45x² - 525x em que x é o número de unidades produzidas (e vendidas). De acordo com esta função a receita máxima será quanto?

Answer 1

Olá, Ângelo.

Para encontrarmos a receita máxima, devemos encontrar o número de unidades x para o qual a derivada da função receita se anula.

A derivada de r(x) é dada por r'(x) = -3x² - 90x - 525. 
r'(x) = 0 ⇔ -3x² - 90x - 525 = 0 [÷ (-3)] ⇔ x² + 30x + 175 = 0 
Δ = 30² - 4·1·175 = 900 - 700 = 200

x = $\frac{-30\pm\sqrt{200}}{2}=\frac{-30\pm10\sqrt{2}}{2}=\boxed{-15\pm5\sqrt2}$

Os dois valores encontrados acima são negativos. Como não é possível uma quantidade de produtos negativa, infere-se que há erro no enunciado, mais especificamente na função receita r(x). Outro fato que confirma que há erro de redação em r(x) é que r(x) é negativa para qualquer valor positivo de x.

Por outro lado, caso a função receita seja r(x) = -x³ - 45x² + 525x, aí sim há uma solução possível. Veja por quê.
Neste caso, a derivada de r(x) é dada por r'(x)= -3x² - 90x + 525. 
r'(x) = 0 ⇔ -3x² - 90x + 525 = 0 [÷ (-3)] ⇔ x² + 30x - 175 = 0 
Δ = 30² + 4·1·175 = 900 + 700 = 1.600

x = $\frac{-30\pm\sqrt{1.600}}{2}=\frac{-30\pm40}{2}=\boxed{5\text{ ou }-35}$

Como x é uma quantidade positiva, temos que x = 5 unidades é a quantidade que maximiza a receita r(x).