Question

Uma prova de múltipla escolha contém apenas 5 questões, cada questão com 4 opções sendo somente uma opção verdadeira. Um aluno "chuta, ao acaso, todas as questões dessa prova. Se a probabilidade desse aluno acertar exatamente n questões é igual a 15/1024, o valor de n é:

Answer 1

Resposta:

4

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

Resposta:

4 Acertos (Questões).

Explicação passo-a-passo:

Possibilidades de acertos

(O interesse aqui é só no acerto, porque a probabilidade do enunciado diz sobre "acertar exatamente n")

q1 q2 q3 q4 q5

e    e   e   e   e   (errar tudo - desconsidera, queremos apenas os acertos)

c    e   e   e   e   1C*    (acertar 1)

c    c   e   e   e   2C*   (acertar 2)

c    c   c   e   e   3C*    (acertar 5)

c    c   c   c    e   4C*   (acertar 4)

c    c   c    c   c   5C*   (acertar 5)

Probabilidade

(C -> Combinação   $C(n,p) = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ ) -> usada para contar quantas são as maneiras de 'o acerto' pode estar posicionado, em cada uma das 5 possibilidades.

Exemplo: Na possibilidade 1C* o 'único acerto' pode estar em qualquer uma das 5 questões, não só na q1, totalizando 5 possíveis formas de distribui-lo. Isso vale para todas as possibilidades (1C*, 2C*, 3C*, 4C*, 5C*).

"Observação lógica": Baseado em cada possibilidade, o n (total de questão) e o p (número de questões certas); Já na probabilidade acertou = 1; errou = 3 (pois só tem 1 certa em cada questão e as outras 3 alternativas estão erradas); total de alternativas = 4.

('possibilidades') * ('probabilidade')

1C*:    

 $=C(5,1) * (\frac{1}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4})\\\\=\frac{5!}{1!(5-1)!} * (\frac{3^{4} }{4^{5} } )\\\\=5 * \frac{81}{1024}$

2C*:

$=C(5,2) * (\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4})\\\\=\frac{5!}{2!(5-2)!} * (\frac{3^{3} }{4^{5} } )\\\\=10 * \frac{27}{1024}$

3C*:

$=C(5,3) * (\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{3}{4}*\frac{3}{4})\\\\=\frac{5!}{3!(5-3)!} * (\frac{3^{2} }{4^{5} } )\\\\=10 * \frac{9}{1024}$

4C*:

$=C(5,4) * (\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{3}{4})\\\\=\frac{5!}{4!(5-4)!} * (\frac{3}{4^{5} } )\\\\=5 * \frac{3}{1024}\\\\=\frac{15}{1024}$

Resposta: Encontrada a probabilidade do enunciado! É com 4 acertos.

5C*:

$=C(5,5) * (\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{1}{4}*\frac{1}{4})\\\\=\frac{5!}{5!(5-5)!} * (\frac{1}{4^{5} } )\\\\=1 * \frac{1}{1024}\\\\=\frac{1}{1024}$