Question

Uma prova de 100 metros rasos é disputada por oito atletas. Ao vencedor é dada a medalha de ouro, ao segundo, a de prata, e ao terceiro, a de bronze. O pódio é formado pelos vencedores das medalhas de ouro, de prata e de bronze, nesta ordem. O número de pódios diferentes que podem ser formados em cada prova é igual a: (A) 276 (B) 322 (C) 326 (D) 330 (E) 336

Answer 1

Olá!

Siga essa linha de raciocínio:
A primeira pessoa que completar a prova, ganhará a medalha de ouro, como essa posição é concedida a primeira pessoa que chegar, qualquer um dos 8 atletas podem preencher essa posição. Assim, há 8 possibilidades.

A segunda pessoa que completar a prova, ganhará a medalha de prata, e, como um dos 8 atletas, já ganhou a medalha de ouro, restam 7 atletas para ganhar essa posição. Assim, há 7 possibilidades.

A terceira e última pessoa que completar a prova, ganhará a medalha de bronze, e como dois dos 8 atletas já ganharam algum tipo de medalha, restaram apenas 6 atletas para concorrer a esta posição. Assim, há 6 possibilidades.

Pelo princípio multiplicativo, esse pódio pode ser preenchido de: $8\cdot7\cdot6=336$. Assim, concluímos que esse pódio pode ser preenchido de 336 maneiras.

Vamos agora, resolver pela fórmula de arranjo simples:
 $A_{n,p} = \frac{n!}{(n-p)!}$(Onde n é o número de atletas (8), e p é o número de medalhas (3).

$A_{8,3} = \frac{8!}{(8-3)!}$
$A_{8,3} = \frac{8!}{5!}$
$A_{8,3} = \frac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!}$
$A_{8,3} = 8\cdot7\cdot6$
$A_{8,3} = 336$

Assim, novamente encontramos que, o número de possibilidades, desse pódio ser preenchido é 336. Logo, a alternativa correta é a letra (E).

Se tiver alguma dúvida, pode me perguntar nos comentários.