Question

Uma prova contém 10 questões de múltipla escolha com 5 alternativas. Para acertar uma questão, o aluno precisa assinalar a única alternativa que é correta. Nesse contexto, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de um aluno que “chuta” todas as questões acertar exatamente 3 exercícios?

Answer 1

Acertar exatamente 3 exercícios requer o cálculo da probabilidade de acertar 3 exercícios e de errar os outros 7. Primeiramente contemos as distintas maneiras que é possível acertar 3 e errar 7.

Sendo "A" acerto e "E" erro, temos a seguir uma possível maneira de acertar 3 questões e acertar 7:
AAAEEEEEEE

Outra maneira poderia ser:
AEEEAAEEEE

Perceba que o total de maneiras possíveis de que isso ocorra corresponde a uma permutação com repetição de 10 elementos com 7 e 3 repetidos:
$P_{10}^{7,3} \\\\= \cfrac{10!}{7! \cdot 3!} \\\\= \cfrac{10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3 \cdot 2}\\\\= 5 \cdot 3 \cdot 8\\= 120$

Há 120 maneiras.

Agora, calculemos a probabilidade de que ocorra uma dessas sequências. A probabilidade de se acertar uma questão é $\frac{1}{5}$ e a de se errar é $\frac{4}{5}$. Basta multiplicar isso para cada questão:
$\cfrac{1}{5} \cdot \cfrac{1}{5} \cdot \cfrac{1}{5} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{4}{5}\\\\= (\cfrac{1}{5} )^3 \cdot (\cfrac{4}{5}) ^7\\\\= \cfrac{1^3}{5^3} \cdot \cfrac{4^7}{5^7}\\\\= \cfrac{1}{125} \cdot \cfrac{16384}{78125} \\\\= \cfrac{16384}{9765625}$

Essa é a probabilidade de UMA das possíveis sequências. Porém, como visto anteriormente, há 120 possíveis sequências, cada uma com essa probabilidade acima. O total é obtido simplesmente multiplicando por 120:

$120 \cdot \cfrac{16384}{9765625}\\\\= \cfrac{1966080}{9765625}\\\\= \cfrac{393216}{1953125}\\\\\approx 0,201\\\approx 20,1\%$

0,201 (ou 20,1%, como preferir)