UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA TEM PRIMEIRO TERMO IGUAL A 1 E RAZÃO IGUAL A RAIZ DE 2. SE O PRODUTO DOS TERMOS DESSA PROGRESSÃO É 2^39, ENTÃO O NUMERO DE TERMOS É IGUAL a:
Soluções para a tarefa
PG
u1 = 1
q = √2
termo geral
un = u1*q^(n-1)
produto dos termos de uma PG
P(n) = √(u1*un)^n
2^39 = √(u1*un)^n
2^39 = √(1*√2^(n-1))^n
2^78 = (√2^(n-1))^n
2^156 = 2^(n - 1)^n
2^156 = 2^(n² - n)
n² - n = 156
n² - n - 156 = 0
delta
d² = 1 + 624 = 625
d = 25
n = (1 + 25)/2 = 26/2 = 13 termos
.
O número de termos é igual a 13.
O produto dos termos de uma progressão geométrica é dado por:
Pn = a₁ⁿ.qⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/²
Em que:
a₁ é o primeiro termo
q é a razão
n é o número de termos
De acordo com o enunciado, temos:
Pn = 2³⁹
a₁ = 1
q = √2
Substituindo esses dados na fórmula, fica:
2³⁹ = 1ⁿ.(√2)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/²
2³⁹ = (√2)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/²
Elevamos os dois lados da equação ao quadrado para eliminarmos o radical. Assim, fica:
(2³⁹)² = [(√2)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/²]²
2⁷⁸ = 2²ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/⁴
2⁷⁸ = 2ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾/²
Como temos potências de mesmas bases, podemos igualar os expoentes. Logo:
n(n - 1) = 78
2
n(n - 1) = 2.78
n(n - 1) = 156
n² - n - 156 = 0
Agora, basta resolvermos a equação do 2° grau.
Δ = b² - 4ac
Δ = (-1)² - 4.1.(-156)
Δ = 1 + 624
Δ = 625
n = - b ± √Δ
2a
n = - (-1) ± √625
2.1
n = 1 ± 25
2
n' = 26 = 13
2
n'' = - 24 = - 12
2
O valor de n deve ser um número natural, pois é uma quantidade. Logo, ficamos com o resultado positivo.
n = 13
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