Question

uma progressão geométrica infinita é decrescente.A soma de seus termos é 9/2 e a soma do primeiro com o segundo termo vale 4 . Qual a razão dessa progressão?

Answer 1

S = a1/(1-q), emque "S" é a soma dos termos da PG, "a1" é o 1º termo e "q" é a razão.
Assim, como a soma dessa PG é igual a 9/2, então temos que:

9/2 = a1/(1-q) ----- multiplicando em cruz, temos:
(1-q)*9 = 2*a1 , ou:
9.(1-q) = 2a1 , ou , invertendo:
2a1 = 9.(1-q)
a1 = 9.(1-q) / 2 -----dividindo logo "9" por "2", temos que 9/2 = 4,5. Então:
a1 = 4,5.(1-q) . (I)

Temos também que a soma do primeiro termo (a1) com o segundo termo (a2) é igual a 4. Então temos que:

a1 + a2 = 4 ------------mas veja que a2 = a1.q. Assim, fazendo a substituição, temos:

a1 + a1.q = 4 -----colocando "a1" em evidência, ficamos com:
a1.(1+q) = 4
a1 = 4/(1+q) . (II)


Mas, conforme (I), a1 = 4,5.(1-q). Então vamos substituir, na igualdade (II) acima, o "a1" por esse valor, ficando:

4,5.(1-q) = 4/(1+q) -----multiplicando em cruz, vamos ficar com:

(1+q).4,5.(1-q) = 4, ou:
4,5.(1+q).(1-q) = 4
(1+q).(1-q) = 4/4,5 --------efetuando a multiplicação indicada, ficamos com:
1 - q² = 4/4,5 --------- mmc =- 4,5.Logo:
4,5*1 - 4,5*q² = 4
4,5 - 4,5q² = 4 -----passando "4" para o 1º membro, temos:
4,5 - 4,5q² - 4 = 0 ----trabalhando os termos semelhantes e ordenando, temos:
-4,5q² + 0,5 = 0 -----para facilitar os trabalhos, vamos dividir tudo por (-0,5), ficando:
9q² - 1 = 0
9q² = 1
q² = 1/9
...........____
q = +-V(1/9)

q = +-1/3 -----Mas, como a PG é apenas decrescente, então tomaremos a raiz positiva e igual a:

q = 1/3 <---Pronto. Essa é a resposta. Essa é a razão procurada.