Question

Uma progressão aritmética infinita de razão 3 tem o primeiro termo igual a 5.
a) Qual é o valor de n para que a soma dos n primeiros termos dessa P.A. seja igual a 185?
b) Quais os possíveis valores de n para que a soma dos n primeiros termos dessa P.A. seja maior que 98?

Answer 1

Segue as fórmulas:

$Sn = \frac{(a1 + an).n}{2} \\ \\ Onde:$

a1 = primeiro termo
an = ultimo termo
n = número de termos
S = soma dos termos

Substituindo temos:
$Sn = \frac{(a1 + an).n}{2} \\ \\ 185 = \frac{(5 + an).n}{2}$

Observe que não temos an, mas podemos escrever an em função de a1, observe:

Pela equação do termo geral da PA temos:

$an = a1 + (n-1) .r \\ \\ an = a1 + n.r -r$

$an = 5 -3 + n.3 \\ \\ an = 3+ 3n$

Substituindo na equação da Soma dos Termos temos:
$185 = \frac{(5 + 8 +3n).n}{2} \\ \\ 185 = \frac{(13 +3n).n}{2} \\ \\ 370 = 13n + 3n^{2} \\ \\ 3n^{2} + 13n - 370 = 0$

Δ = b² - 4a.c
Δ = 13² - 4.3.(-370)
Δ = 169 + 4440
Δ = 4609

Answer 2

a)
Sn=.( a1 + a') n/2
a'= a1 + (n-1)r => a' = 5 + (n-1)3 => a'= 5+ 3n - 3
Sn= (5+5+3n-3) n/2
185=(7+3n)n/2
370=7n+3n^2
3n^2+7n-370=0
∆= b^2-4ac
∆= 49 +4440
∆= 4489
n=-b+/-√∆/2a
n=-7+/-√4489/2a
n= -7 +/- 67/2a
n so pode ser positivo, logo
n= 60/2a=60/2x3=60/6=10
b) para Sn ser maior que 98, temos
Sn>98
(7+3n)n/2>98
3n^2+7n-98>0
∆= 49 + 1176= 1225
n= -7 +/- √1225/2a
como n só pode ser positivo,
n= -7 + 35/2 x 3
n= 28/6
n=4,67

Para Sn ser maior que 98, n deve ser maior que 4, 67. como n só pode ser número natural, n deve ser maior que 5