Question

Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e iguais. o segundo termo da PA excede o segundo termo da pg em 2. qual o terceiro termo das progressões?

Answer 1

P.A {4, (x + 2), y}
P.G {4, x, y}

Encontrando o valor de x:

$\frac{x}{4} = \frac{y}{x} \\ \\ x^2 = 4y \\ \\ y = \frac{x^2}{4}$

Substituindo na outra:

$x + 2 = \frac{4 + y}{2} \\ \\ 2(x + 2) = 4 + y \\ 2x + 4 = 4 + y \\ 2x = 4-4 + y \\ 2x = y$

Substituindo o valor de y:

$2x = \frac{x^2}{4} \\ \\ 2x.4 = x^2 \\ x^2 = 8x \\ x^2 - 8x = 0 \\ x(x -8) = 0 \\ \\ x^I = 0 \\ \\ x^{ll} ==\ \textgreater \ x- 8 = 0 \\ x = 8$

Como o valor de y é positivo, então x = 0 é descartado. Assim:

P.A = {4,(8 + 2), y}
P.G = {4, 8, y}

P.A = {4,10,y}
P.G = {4,8,y}

A razão da P.A é 6, enquanto a razão da P.G é 2. Assim:

P.A = {4,10,16}
P.G = {4,8,16}

O terceiro valor das progressões é 16.

Answer 2

O terceiro termo das progressões é 16.

Vamos considerar que a Progressão Aritmética é (x₁, x₂, x₃, ...) e a Progressão Geométrica é (y₁, y₂, y₃, ...).

A fórmula do termo geral de uma P.A. é igual a an = a1 + (n - 1).r e a da PG é an = a1.qⁿ⁻¹.

Com as informações do enunciado, temos que:

• x₁ = y₁ = 4
• x₂ = y₂ + 2
• x₃ = y₃.

Com as fórmulas acima, podemos dizer que:

x₂ = x₁ + r ∴ x₂ = 4 + r

x₃ = x₁ + 2r ∴ x₃ = 4 + 2r

y₂ = y₁.q ∴ y₂ = 4q

y₃ = y₁.q² ∴ y₃ = 4q².

Assim,

4 + r = 4q + 2

r = 4q - 2.

Além disso,

4 + 2r = 4q²

4 + 2.(4q - 2) = 4q²

4 + 8q - 4 = 4q²

4q² - 8q = 0

4q(q - 2) = 0

q = 0 ou q = 2. Consequentemente, r = 6.

Portanto, o terceiro termo das progressões são: 4.2² = 16 = 4 + 6.2.

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