Question

uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. então, o terceiro termo das progressões é:

Answer 1

O terceiro termo das progressões é 16.

Vamos considerar que a Progressão Aritmética é (x₁, x₂, x₃, ...) e a Progressão Geométrica é (y₁, y₂, y₃, ...).

A fórmula do termo geral de uma P.A. é igual a an = a1 + (n - 1).r e a da PG é an = a1.qⁿ⁻¹.

Com as informações do enunciado, temos que:

x₁ = y₁ = 4

x₂ = y₂ + 2

x₃ = y₃.

Com as fórmulas acima, podemos dizer que:

x₂ = x₁ + r ∴ x₂ = 4 + r

x₃ = x₁ + 2r ∴ x₃ = 4 + 2r

y₂ = y₁.q ∴ y₂ = 4q

y₃ = y₁.q² ∴ y₃ = 4q².

Assim,

4 + r = 4q + 2

r = 4q - 2.

Além disso,

4 + 2r = 4q²

4 + 2.(4q - 2) = 4q²

4 + 8q - 4 = 4q²

4q² - 8q = 0

4q(q - 2) = 0

q = 0 ou q = 2. Consequentemente, r = 6.

Portanto, o terceiro termo das progressões são: 4.2² = 16 = 4 + 6.2.