Question

uma progressão aritmética e uma progressao geometrica cujos termos são inteiros tem o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o quinto termo da PA é 11 e a diferença entre o segundo termo da PG e o segundo teemo da PA é 1 entao o quinto termo da PG é?
a)243
b)162
c)95
d)48
e)32

Answer 1

O quinto termo da PG é 48.

Os termos gerais da PA e PG são:

an = a1 + (n-1).r

bn = b1.q^(n-1)

onde r é a razão da PA e q a razão da PG. Do enunciado, temos que:

a1 = b1

r = q

a5 = 11

b2 - a2 = 1

Sabendo o valor de a5, podemos calcular a1:

a5 = a1 + (5-1).r

11 = a1 + 4r

a1 = 11 - 4r

Com a1, podemos calcular a2:

a2 = a1 + r

a2 = 11 - 4r + r

a2 = 11 - 3r

Logo:

b2 - (11 - 3r) = 1

b2 = 12 - 3r

Com b2, podemos calcular b1:

b2 = b1.r

12 - 3r = b1.r

b1 = 12/r - 3

Se b1 = a1, temos:

11 - 4r = 12/r - 3

11r - 4r² = 12 - 3r

4r² - 14r + 12 = 0

Pela fórmula de Bhaskara, temos r = 2 e r = 1,5. Como os termos são inteiros, a razão tem que ser inteira. Logo:

a1 = b1 = 11 - 4.2 = 3

Calculando o quinto termo da PG:

b5 = 3.2^(5-1) = 48

Resposta: D