Question

Uma Prefeitura fará a seleção, através de concurso, de 5 professores
de Matemática entre 10 candidatos. Admitindo-se que 4 dos candidatos
são mulheres, 6 são homens e que todos têm a mesma capacitação,
assinale a alternativa correta.
(A) A probabilidade de que os professores selecionados sejam todos
homens é aproximadamente igual a 2,5%.
A probabilidade de que os professores selecionados sejam todos
homens é aproximadamente igual a 3,0%.
(C) A probabilidade de que os professores selecionados sejam todos
homens é aproximadamente igual a 4,5%.
A probabilidade de que os professores selecionados sejam todos
homens é aproximadamente igual a 5.0%.
10

Answer 1

Observando as alternativas, notamos que a questão está interessada na probabilidade de que os 5 professores selecionados sejam homens.

Temos 6 homens em um total de 10 pessoas, logo:

--> 1º selecionado:  Temos 6 possibilidades (6 homens) dentre as 10 pessoas, ou seja, temos uma probabilidade de 6/10.

--> 2º selecionado:  Temos 5 possibilidades (5 homens restantes) dentre as 9 pessoas restantes, ou seja, temos uma probabilidade de 5/9.

--> 3º selecionado:  Temos 4 possibilidades (4 homens restantes) dentre as 8 pessoas restantes, ou seja, temos uma probabilidade de 4/8.

--> 4º selecionado:  Temos 3 possibilidades (3 homens restantes) dentre as 7 pessoas restantes, ou seja, temos uma probabilidade de 3/7.

--> 5º selecionado:  Temos 2 possibilidades (2 homens restantes) dentre as 6 pessoas restantes, ou seja, temos uma probabilidade de 2/6.

Sendo assim, a probabilidade de serem os 5 homens é:

$P(5~selecionados~homens)~=~\frac{6}{10}~.~\frac{5}{9}~.~\frac{4}{8}~.~\frac{3}{7}~.~\frac{2}{6}\\\\\\P(5~selecionados~homens)~=~\frac{6~.~5~.~4~.~3~.~2}{10~.~9~.~8~.~7~.~6}\\\\\\P(5~selecionados~homens)~=~\frac{1~.~1~.~1~.~1~.~2}{2~.~3~.~2~.~7~.~1}\\\\\\P(5~selecionados~homens)~=~\frac{1~.~1~.~1~.~1~.~1}{1~.~3~.~2~.~7~.~1}\\\\\\P(5~selecionados~homens)~=~\frac{1}{42}\\\\\\\boxed{P(5~selecionados~homens)~\approx~0,0238~=~2,38\%}$

Método alternativo: Utilizando analise combinatoria.

Temos C6,5 maneiras de agrupar 5 dos 6 homens.

Temos C10,5 maneiras de agrupar 5 das 10 pessoas.

Sendo assim, teremos uma probabilidade de ter 5 homens selecionados de:

$P(5~homens~selecionados)~=~\frac{C_{6,5}}{C_{10,5}}\\\\\\P(5~homens~selecionados)~=~\frac{\frac{6!}{5!\,.\,(6-5)!}}{\frac{10!}{5!\,.\,(10-5)!}}\\\\\\P(5~homens~selecionados)~=~\frac{6!}{5!\,.\,(6-5)!}~.~\frac{5!\,.\,(10-5)!}{10!}\\\\\\P(5~homens~selecionados)~=~\frac{6!}{5!\,.\,1!}~.~\frac{5!\,.\,5!}{10!}\\\\\\P(5~homens~selecionados)~=~\frac{6~.~5!}{5!}~.~\frac{5!\,.\,5!}{10~.~9~.~8~.~7~.~6~.~5!}\\\\\\P(5~homens~selecionados)~=~\frac{6}{1}~.~\frac{5~.~4~.~3~.~2}{10~.~9~.~8~.~7~.~6}$

$\boxed{P(5~homens~selecionados)~=~\frac{1}{42}~\approx~2,38\%}$

Resposta: A alternativa que mais se aproxima do resultado é a letra A.