Question

Uma praça tem a forma de um triângulo retângulo com uma via de passagem medindo √20 metros, que passa pelo Gramado que vai de um vértice do ângulo reto até a calçada maior como ilustrado pela figura abaixo. Determine a medida da menor calçada da praça, sabendo que a calçada maior mede 9 metros. * a) 4 m b) 5 m c) 6 m d) 7 m e) 8 m

Answer 1

Resposta:

6m

Explicação passo-a-passo:

Vamos convencionar:

$a$ = calçada maior

$c$ = calçada menor

$h$ = via de passagem

$m$ = parte menor da calçada maior

$n$ = parte maior da calçada maior

É possível resolver esta questão através das relações métricas no triângulo retângulo.

$h = \sqrt{20}\\\\h^{2} = m.n\\\\(\sqrt{20})^{2} = mn\\\\20 = mn$

$a = m + n\\\\9 = m + n\\\\m = 9 - n$

$20 = mn\\\\20 = (9 - n)n\\\\20 = -n^{2} + 9n\\\\n^{2} -9n + 20 = 0\\\\n = \frac{-(-9) +- \sqrt{(-9)^{2} - 4.1.20}}{2.1}\\\\n = \frac{9+-\sqrt{81 - 80}}{2}\\\\n = \frac{9 + - 1}{2}\\\\n_{1} = \frac{9 + 1}{2}\\\\n_{1} = \frac{10}{2}\\\\n_{1} = 5$

$n_{2} = \frac{9-1}{2}\\\\n_{2} = \frac{8}{2}\\\\n_{2} = 4$

Os valores possíveis para $n$ são 4 e 5. Para satisfazer a relação $20 = mn$, quando $n = 4$, $m = 5$. E quando $n = 5$, $m = 4.$

Vamos convencionar assim:

$n = 4\\m = 5$

Temos a seguinte relação:

$c^{2} = an$

$c^{2} = 9.4\\\\c^{2} = 36\\\\c = \sqrt{36}\\\\c = 6$

Resp. A menor calçada mede 6 m.