Question

Uma população N de micróbios cresce exponencialmente de acordo com a expressão N=3000.2(elevado a t) sendo t em tempo indique o valor de t pra quando se tem N=6000 , N=18000, N=9000, N=36000, N=12000, N=66.00

Answer 1

Olá, esta é uma questão de logaritmo. Para resolvê-las vamos utilizar algumas propriedades. Caso você tenha dúvida, recomendo que revise a parte de propriedades dos logaritmos. Vamos lá:

Podemos criar uma função N(t) para descrever o crescimento dos micróbios em instantes t de tempo, sendo assim: N(t)= 3000 * 2^t, ou seja, o número de micróbios em um instante de tempo (t) é igual a três mil vezes dois elevado á esse instante de tempo.

Agora vamos para as aplicações:

6000 = 3000 * 2^t, vamos dividir ambos os lados por 3000, ficando com:
2 = 2^t, é óbvio que t = 1, entretanto, para revisar as propriedades, vamos aplicar o logaritmo de base DOIS em ambos os lados da equação, ficando com:
log(2) 2 = log(2) 2^t (eu identifiquei a base do logaritmo entre parenteses)
Usando a propriedade do expoente, podemos trazer o t que está elevando o 2 para frente do logaritmo, multiplicando ele, então:

log(2) 2 = t * log(2) 2, simplificando os logaritmos, já que o logaritmo de dois na base dois é um, tempos o seguinte:

1 = t * 1, portanto, t = 1.

Para o tempo 18000, temos o seguinte:

18000 = 3000 * 2^t, daqui em diante é só continuar do jeito que fizemos na primeira, apenas simplificando.

6 = 2^t, aplicando o logaritmo de base 2:

log(2) 6 = log(2) 2^t

(log6)/(log2) = t * 1, a primeira parte ficou com a divisão de logaritmos porque eu usei a propriedade da mudança de bases. Você poderia fatorar o 6 como 2 * 3, ficando com o log na base 2 de um produto, e depois abrir o produto em uma soma, e aí simplificar o log(2) 2 como sendo um e depois efetuar os cálculos do log(2) 3, mas isso ficaria muito maçante, e como a intenção é ajudar, resolvi fazer do jeito mais fácil. Para ser mais didático.

Fazendo as simplificações, temos:

t = 2,58

Para t = 9000, temos:

9000=3000*2^t Agora você já sabe como resolver, então vou ir bem direto.

3= 2^t Log na base 2 de ambos os lados, temos:

log(2) 3 = log(2) 2^t, portanto:

t = 1,58

Para t igual á 36000, temos:

36000=3000*2^t, então:

12=2^t Aqui você poderia usar a fatoração do 12 para simplificar mais, eu vou usar para mostrar o que quis dizer antes, então:

12 = 3*4 = 3*2*2=3*2²

Voltando para a equação:

3*2²=2^t, aplicando o log(2) em ambos os lados, temos:

log(2) 3*2² = log(2) 2^t, então:

log(2) 3 + 2 = t, aqui eu abri o logaritmo do produto como logaritmo da soma e simplifiquei os logaritmos de 4 e de 2. Então temos:

t = 3,58

Para t igual á 12000, temos:

12000=3000*2^t, então:

4=2^t, é óbvio que t é igual á 2, mas você deve aplicar o logaritmo em ambos os lados, para garantir que tenha entendido a matéria, então:

log(2) 4 = log(2) 2^t, então:

2 = t.

Para t = 66, temos:

66=3000*2^t

0,022=2^t, aplicando o log(2) em ambos os lados, temos:

log(2) 0,022 = log(2)  2^t

-5,5=t, essa última resposta é duvidosa, já que o tempo está negativo, e nós poderíamos ter notado isso ao ver que o número de bactérias é menor do que 3000, então o tempo teria de ser negativo para 2^t ser menor do que um, para quando multiplicarmos por 3000 obtermos um número menor do que 3000. Essa última explicação fica à parte do exercício, caso não tenha entendido, ignore. Não faz diferença nesse caso.

Espero ter ajudado, e lembre-se: estude muito.

Abraços