Question

Uma população de formigas, observada ao longo de 30 semanas em um formigueiro, no instante t, dado em semanas, pôde ser estimada pela função $P(t) = 4^{k.t} . C$, para 0 ≤ t ≤ 30. Considere que após 1 semana a quantidade de formigas era igual a 16 e após 3 semanas, era igual a 256. Com base nas informações apresentadas, responda aos itens.
a) Qual a população de formigas ao início da observação?
b) Qual a quantidade de formigas após 7 semanas?

Answer 1

· Temos um exercício de função exponencial.

O exercício nos fornece uma função para a população de formigas, dando algumas informações e, então, pede a resposta dos itens que se seguem.

· O que é uma função exponencial?

Ela se caracteriza por possuir uma variável x qualquer como expoente. Veja uma representação simples dela: $f(x) = a^x$.

· Como resolver esse exercício?

Nos é dado que há 16 formigas após 1 semana e 256 após 3 semanas. Assim, precisaremos substituir os valores na função P(t) e, então, descobriremos o valor de k e, posteriormente, o de C. Após isso, a função fornecida ficará apenas em função de t e os itens poderão ser facilmente respondidos. Façamos, então, as substituições:

$P(t) = 4^k^.^t.C$

Com 16 formigas e t = 1, temos:

$16=4^k^.^1.C$

Com 256 formigas e t = 3:

$256=4^k^.^3.C$

Dividindo $256=4^k^.^3.C$ por $16=4^k^.^1.C$, encontramos:

$\frac{256}{16}=\frac{4^k^.^3.C}{4^k^.^1.C}$

Resolvendo:

$16=\frac{4^3^.^k}{4^k}.\frac{C}{C} \\\\4^2 = 4^(^3^.^k^)^-^(^k^).1\\\\4^2 = 4^2^k$

Analisando apenas os expoentes, temos:

$2=2k\\\\\frac{2}{2}=k\\\\1 = k$

Como k = 1, basta substituir esse valor em uma das expressões iniciais e, então, obteremos o valor de C. Veja:

$16=4^k^.^1.C$

Substituindo o valor de k:

$16=4^1^.^1.C\\\\16=4.C\\\\\frac{16}{4}=C\\\\ 4=C$

Agora, temos a função:

$P(t)=4^t.4$, que pode ser reescrita como:

$P(t)=4^t^+^1$

Resolvendo os itens:

A) No início da observação, temos que t será igual a 0. Logo, basta resolver a função e encontrar o valor inicial:

$P(0)=4^0^+^1\\\\P(0)=4^1\\\\P(0)=4$

Portanto, há 4 formigas no início da observação.

B) Agora, precisamos encontrar o valor da função para t sendo igual a 7 semanas. Fazendo:

$P(t)=4^t^+^1\\\\P(7)=4^7^+^1\\\\P(7)=4^8\\\\P(7)=65536$

Após 7 semanas, haverão 65536 formigas.

· Qual a resposta?

A) 4 formigas

B) 65536 formigas

Aprenda mais em:

brainly.com.br/tarefa/25716317

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Answer 2

• O que é potenciação?

É a operação matemática usada para representar a multiplicação de um número por ele mesmo várias vezes.

• Como se representa uma potência?

As potências são representadas na forma $a^n$, onde

• $a$ é a base, ou seja, o número que é multiplicado por ele mesmo
• $n$ é o expoente, ou seja, o número de vezes que a base é multiplicada por ela mesma

Por exemplo, $3^4$ representa a multiplicação de 3 por ele mesmo 4 vezes, ou seja,

$3^4=3 \times 3 \times 3 \times 3=81$

• Como determinar os coeficientes da equação?

Do enunciado, temos que, para $t=1$ a população era $P(t)=16$. Portanto,

$P(t)=4^{k\;.\;t}\;.\;C\\\\16=4^{k\;.\;1}\;.\;C\\\\16=4^k\;.\;C\\\\4^2=4^k\;.\;C\\\\C=\dfrac{4^2}{4^k}\\\\C=4^{2-k}$

Do enunciado, temos também que, para $t=3$ a população era $P(t)=256$. Portanto,

$P(t)=4^{k\;.\;t}\;.\;C\\\\256=4^{k\;.\;3}\;.\;4^{2-k}\\\\4^4=4^{3k}\;.\;4^{2-k}\\\\4^4=4^{(3k+2-k)}\\\\4^4=4^{(2k+2)}\\\\4=2k+2\\\\2k=4-2\\\\2k=2\\\\k=\dfrac{2}{2}\\\\k=1$

Substituindo esse valor na equação de C:

$C=4^{2-k}\\\\C=4^{2-1}\\\\C=4^1$

Agora a equação pode ser reescrita como

$P(t)=4^{1\;.\;t}\;.\;4^1\\\\P(t)=4^t\;.\;4^1\\\\P(t)=4^{t+1}$

• Respondendo às questões

a) Qual a população de formigas ao início da observação?

$P(t)=4^{t+1}\\\\P(0)=4^{0+1}\\\\P(0)=4^1\\\\P(0)=4\;formigas$

b) Qual a quantidade de formigas após 7 semanas?

$P(7)=4^{7+1}\\\\P(7)=4^{7+1}\\\\P(7)=4^8\\\\P(7)=65.536\;formigas$

• Para saber mais

https://brainly.com.br/tarefa/24985559