Question

Uma população de bactérias, no instante t, é definida pela função exponencial p(t)= 100.4t, onde t é o tempo em minutos e p é o número de bactérias em unidades e coloque v para verdadeiro e f para falso nas afirmações abaixo:

Answer 1

(F) No instante inicial havia 400 bactérias:

Essa afirmação nos diz que, ao substituirmos "t" por 0min (instante inicial), acharemos um total de 400 bactérias, mas, como podemos ver abaixo, inicialmente há 100 bactérias.

$\sf p(0)~=~100\cdot 4^0\\\\p(0)~=~100\cdot 1\\\\\boxed{\sf p(0)~=~100~bact\acute{e}rias}$

(F) A população de bactérias decresce a cada minuto:

As funções exponenciais são dadas, de modo geral, na forma f(x)=bˣ com "b" sempre maior que 0 e diferente de 1. Quando a base "b" estiver no intervalo ]0,1[, a função será decrescente e, quando b>1, crescente.

Já que a base na função dada é "4", um número maior que 1, a função é crescente.

(V) Em 5 minutos serão 102400 bactérias:

Pelos cálculos abaixo, concluímos que, de fato, ao substituirmos "t" por 5min, verificamos a existências de 102400 bactérias.

$\sf p(5)~=~100\cdot 4^5\\\\p(5)~=~100\cdot 1024\\\\\boxed{\sf p(5)~=~102400~bact\acute{e}rias}$

(F) Esta função pode ser expressa por $\sf p(t)=(10\cdot 2)\cdot 2^t$:

Para mostrarmos que é falsa, basta acharmos um valor de "t" qualquer que, ao ser substituído nas duas funções, resultasse em um número de bactérias diferente.

Ex.:  No instante inicial (t=0min), há originalmente 100 bactérias e, segundo a função dada na afirmação, haverá 20 bactérias nesse instante.

Alternativamente:

$\sf 100\cdot 4^t~=~10^2\cdot \left(2^2\right)^t\\\\\sf 100\cdot 4^t~=~10^2\cdot \left(2^t\right)^2\\\\\boxed{\sf 100\cdot 4^t~=~\left(10\cdot 2^t\right)^2}\\\\\\\left(10\cdot 2^t\right)^2~\ne~(10\cdot 2)\cdot 2^t~~\Longrightarrow~~100\cdot 4^t~\ne~(10\cdot 2)\cdot 2^t$

(V) A população de bactérias irá dobrar em meio minuto:

Podemos ver abaixo que o quociente entre o número de bactérias em um instante "t+0.5min" e o número de bactéria em um instante "t" será igual a 2, isto é, um é o dobro do outro.

$\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~\dfrac{100\cdot 4^{t+0.5}}{100\cdot 4^t}\\\\\\\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~\dfrac{100\cdot 4^{t}\cdot 4^{0.5}}{100\cdot 4^t}\\\\\\\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~\dfrac{100\cdot 4^{t}}{100\cdot 4^t}\cdot 4^{0.5}\\\\\\\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~1\cdot 4^{0.5}~~~~~~~~~~~~~~~Lembrando:~\boxed{\sf a^{\frac{b}{c}}=\sqrt[c]{a^b}}\\\\\\\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~1\cdot 4^{^1/_2}\\\\\\\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~\sqrt{4}\\\\\\\boxed{\sf \dfrac{p(t+0,5)}{p(t)}~=~2}$

Resposta: Letra E

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$