Question

Uma planta aquática dobra o seu tamanho a cada dia. Se em trinta dias ela cobre toda a superfície de um lago, quanto tempo ela leva para cobrir a metade do lago?

Answer 1

Uma planta aquática dobra o seu tamanho a cada dia.

O tamanho inicial dessa planta é x.

Primeira dobra, primeiro dia, 2¹ . x = 2x
Segunda dobra, segundo dia, 2² . x = 4x
Terceira dobra, terceiro dia, 2³ . 3x = 8x
.
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.
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.
n-ésima dobra = $2^n . x$

n = 30

trigésima dobra, trigésimo dia = $2^{30} . x$

Como em 30 dias dobrou, fazendo uma divisão por dois encontramos a metade

$\dfrac{ 2^{30}.x }{2}$

$2^{29} . x$

Ou seja, a metade desse lago foi coberta por essa planta exatamente no 29° dia.

Answer 2

A planta leva 29 dias para cobrir metade da superfície do lago.

O tamanho da planta dobra a cada dia é dado por uma progressão geométrica de razão 2 (pois ela dobra de tamanho a cada dia). O termo geral da progressão geométrica é:

aₙ = a₁.qⁿ⁻¹

Sendo a1 seu tamanho inicial, seu tamanho após 30 dias será:

a₃₀ = a₁.2³⁰⁻¹

a₃₀ = a₁.2²⁹

Este tamanho representa toda a superfície de um lago, então metade dessa área é:

a₃₀/2 = a₁.2²⁹/2

a₃₀/2 = a₁.2²⁸

Comparando as duas, note que o expoente agora é 28, então:

2ⁿ⁻¹ = 2²⁸

n - 1 = 28

n = 29

No 29º dia, a planta cobre a metade do lago.

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