Question

Uma placa fina limitada pelas retas y = 3x, y = 2x - 1 e x = 3/2, tem densidade no ponto (x,y) expressa por - x + 2y + 4. Determine a massa total desta placa.
A -
132/31
B -
35 + 2√3
C -
36,7
D -
425/24
E -
485/24

Answer 1

Para calcular a massa desta fina placa, vamos utilizar as integrais duplas.

No Cálculo I, nas aplicações, aprendemos que para calcular a massa total de uma barra, disco, placa, dentre outros, utilizamos basicamente a integral abaixo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\sf m = \int \limits_{a}^{b} f(x) \: dx}$

Nas integrais duplas, isto permanece, a única coisa que muda, é que agora a função possui duas variáveis, como é mostrado abaixo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf m = \int \int _D \rho(x,y) \: dA }$

• O "D" representa a região a que está sendo estudada na questão

________________________________

Para iniciar os cálculos, vamos plotar em um gráfico todas estas informações dadas na questão e observar o que foi gerado (a plotagem do gráfico está anexada na resposta).

Como pode ser visto na imagem, a Região "D" estudada neste caso é o triângulo formado pela interseção das três retas informadas. Para calcular a massa total vamos ter que estabelecer a variação de x e y.

• VARIAÇÃO DE (X):

Observe na imagem que x varia desde a interseção dele no terceiro quadrante com a interseção das retas y = 2x - 1 e y = 3x até a reta constante que é informada x = 3/2. Para acharmos o valor de "x" na interseção, basta igualarmos as expressões:

$\sf 2x - 1 = 3x \: \: \to \: \: \boxed{ \sf x= - 1}$

Portanto, concluímos que a variação de x, é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \ \bullet \: \: \: \: \sf - 1 < x < \frac{3}{2} \: \: \: \: \bullet$

• VARIAÇÃO DE (Y):

Para a variação de y, é basicamente utilizar a mesma lógica das integrais simples, y varia desde a função mais abaixo, até a função mais acima:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf 2x - 1 < y <3x \: \: \bullet$

Substituindo estas informações na integral:

$\sf m = \int \limits_{ - 1}^{ \frac{3}{2} } \: \: \int \limits_{ 2x - 1}^{ 3x } p(x,y) \: dA$

A função p(x,y) é basicamente a função densidade informada na questão. Além disto, a diferencial dA deve ser disposta na forma dydx, uma vem que esta integral se encaixa no tipo 1, onde o x é constante e y é uma função:

$\star \: \: \sf tipo \: 1 : \int \limits_{ a}^{ b } \int \limits_{ g(x)}^{ h(x) } f(x,y) \: dydx$

Aplicando estas informações na integral dupla:

$\sf m = \int \limits_{ - 1}^{ \frac{3}{2} } \: \: \int \limits_{ 2x - 1}^{ {3x} } - x + 2y + 4 \: dydx$

• Primeira integral:

$\sf \int \limits_{ 2x - 1}^{ {3x} }( - x + 2y + 4) \: dy \: \to \: \sf \int \limits_{ 2x - 1}^{ {3x} }( - x)dy + \sf \int \limits_{ 2x - 1}^{ {3x} }(2y) \: dy + \sf \int \limits_{ 2x - 1}^{ {3x} }(4)dy$

Vale ressaltar que estas integrais são relacionadas a y, ou seja, neste caso, "x" é meramente uma constante:

$\sf \sf - x \: . \: y + y {}^{2} + 4y \bigg| _ {2x - 1}^{3x} \: \: \to \: \: (- 3x {}^{2} + 9x {}^{2} + 12x) - ( - 2 {x}^{2} + x + 4x {}^{2} - 4x + 1 + 8x - 4) \\ \\ \sf 6x {}^{2} + 12x - 2x {}^{2} - 5x + 3\: \: \to \: \: \boxed{ \sf 4x {}^{2} + 7x + 3}$

Substituindo este resultado na outra integral:

$\sf \sf \int \limits_{ - 1}^{ { \frac{3}{2} } }( 4x {}^{2} + 7x + 3 ) \: dx \: \to \: \sf \int \limits_{ - 1}^{ { \frac{3}{2} } }4x {}^{2} \: dx + \sf \int \limits_{ - 1}^{ { \frac{3}{2} } }7x \: dx + \sf \int \limits_{ - 1}^{ { \frac{3}{2} } }3 \: dx$

• Segunda integral:

Do mesmo jeito da anterior, desta vez, y é meramente uma constante:

$\sf \frac{4x {}^{3} }{3} + \frac{7x {}^{2} }{2} +3x\bigg| _{- 1}^{ { \frac{3}{2} } } \: \: \to \: \: \left( \frac{4}{3}. \left( \frac{3}{2} \right) {}^{3} \right)+ \frac{7}{2} . \left( \frac{3}{2} \right) {}^{2} + 3.\left( \frac{3}{2 } \right) - \left( \frac{4}{3} .( - 1) {}^{3} + \frac{7}{2} .( - 1) {}^{2} + 3.( - 1)\right) \\ \\ \sf \frac{4}{3}. \frac{27}{8} + \frac{7.9}{8} + \frac{9}{2} + \frac{4}{3 } - \frac{7}{2} + 3 \: \: \to \: \: \frac{108}{24} + \frac{63}{8} + 4 + \frac{4}{3} \: \: \to \: \: \frac{108}{24} + \frac{63}{8} + \frac{16}{3} \: \: \to \: \: \frac{108}{24} + \frac{ 317 }{24} \\ \\ \sf \frac{10 8+ 317}{24} \: \: \to \: \: \boxed{ \boxed{ \boxed{ \sf\frac{425}{24} }}}$

Espero ter ajudado