Question

Uma placa fina de metal localizada no plano xy tem temperatura ( x , y ) no ponto ( x , y ). As curvas de nível de são chamadas isotermas porque todos os pontos nessa curva têm a mesma temperatura. Esboce as isotermas da função

T(x,y)= 200
__________________
^ 1+^2x²+^y²

Answer 1

Eae, temos a função de temperatura em função da posição no R² dada por

$T(x,y)=\dfrac{200}{1+2x^2+y^2}$

Quando vamos analisar as curvas de nível numa função o melhor jeito de fazer isso é igualar a função a um k e ver que valores de (x, y) no domínio tais que

$T(x,y) = k$

$\dfrac{200}{1+2x^2+y^2} = k$

$k+2kx^2+ky^2=200$

$2kx^2+ky^2=200-k$

$\dfrac{2kx^2}{200-k}+\dfrac{ky^2}{200-k} = 1$

Ou seja, para todo k na imagem de T, a parte do domínio que resulta em k é uma elipse, centrada na origem, de eixos iguais a

$a = \sqrt{\dfrac{200-k}{2k}}$

$b = \sqrt{\dfrac{200-k}{k}}$

Onde a elipse se torna

$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} = 1$

Agora, é possível desenhar as curvas de nível tomando valores distintos de k. O desenho parecerá como a figura anexa.