Question

Uma placa circular plana tem o formato da região x2 + y2 ≤1. A placa, incluindo a
fronteira na qual x2 + y2 =1 é aquecida, de forma que a temperatura no ponto (x,y)
é dada pela equação T(x, y)= x2 + 2y2 − x . Encontre as temperaturas nos pontos
mais quentes e mais frios da placa.

Answer 1

Región plana $x^2+y^2=1$
Temperatura: $T(x,y)=x^2+2y^2-x$

Función de Lagrange
$F(x,y,\lamda)=x^2+2y^2-x+\lambda(x^2+y^2-1)$

Puntos estacionarios
$F_x=2x-1+\lambda(2x)=2(\lambda +1)x-1\\ \\ 2(\lambda +1)x-1=0\\ 2(\lambda +1)x=1$

$F_y=4y+\lambda(2y)\\ \\ 4y+\lambda(2y)=0 \\ y(2+\lambda)=0\iff (y=0)\vee (\lambda =-2)$

Entonces
$\begin{cases} 2(\lambda +1)x=1\\ y=0\vee \lambda =-2\\ x^2+y^2=1 \end{cases}\\ \\ 2(\lambda +1)x=1 \wedge (y=0\vee \lambda =-2)\\ \\ \left(x=\dfrac{1}{2(\lambda +1)}\wedge y=0\right)\vee \left(x=\dfrac{1}{2(\lambda +1)}\wedge \lambda =-2\right)$

$\left(x=\dfrac{1}{2(\lambda +1)}\wedge y=0\right)\vee\left(x=-\dfrac{1}{2}\wedge \lambda=-2\right)\\ \\ \text{Luego...}\\ \\ \left[\left(x=\dfrac{1}{2(\lambda +1)}\wedge y=0\right)\vee\left(x=-\dfrac{1}{2}\wedge \lambda=-2\right)\right] \wedge x^2+y^2 =1\\ \\ \left(x=\dfrac{1}{2(\lambda +1)}\wedge y=0\wedge x=\pm1\right)\vee\left(x=-\dfrac{1}{2}\wedge y=\pm\sqrt{\dfrac{3}{4}}\wedge \lambda=-2\right)$

Por fin los puntos estacionarios de la función de Lagrange
$(x,y,\lambda)\in\left\{(-1,0,-\dfrac{3}{2}),(1,0,-\dfrac{1}{2}),(-\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2},-2),(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2},-2)\right\}$

Segundas derivadas parciales

$F_{xx}=2+2\lambda\\ F_{yy}=4+2\lambda\\ F_{xy}=0\\ \\ \Delta_2=F_{xx}F_{yy}=4(\lambda+1)(\lambda+2)$

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} &F_{xx}&\Delta_2&Tipo\\ \cline{1-4} (-1,0)&-1&-1&\\ \cline{1-4} (1,0)&1&3&\text{m\'in local}\\ \cline{1-4} (-\frac{1}{2},\pm\frac{\sqrt3}{2})&-2&0&\text{Pto de silla}\\ \cline{1-4} \end{array}$

La más fría está en (1,0), y puesto que la circunferencia $x^2+y^2=1$ es un compacto entonces la mayor temperatura está en (-1,0)