Question

Uma pirâmide triangular tem para base um triângulo de lados 13,14 e 15; as outras arestas medem 425/8. calcule o volume

Answer 1

 teorema de heron: área=√p.(p-a).(p-b).(p-c) P=(a+b+c)/2 P=(13+14+15)/2 P=21 <-------- em vez de 42, pois 13+14+15 = 42 Area=√21.(21-13).(21-14).(21-15) Area=√21.(8).(7).(6) Area=√(21.42.8) = √(21.21.16) Area=21.4 Area=84 Como as 3 arestas são iguais, as projeções delas no plano do triângulo também são iguais. Assim, o vértice da pirâmide projetado no triângulo corresponde a um ponto do triângulo que equidista dos três vértices desse triângulo. Este ponto é o circuncentro, e a distância a cada ponto vale R, o raio da circunferência cirunscrita. Há uma fórmula da área do triângulo que é: Area = a.b.c/(4R) = 84 --> 13.14.15/(4R) = 84 --> R = 13.14.15/(4.84) = 65/8 Observe agora que, o raio R, a altura h da pirâmide e a aresta de 425/8 formam um triangulo retangulo, em que a aresta de 425/8 é hipotenusa. Aplicando Pitágoras: R^2 + h^2 = (425/8)^2 --> h^2 = (425/8)^2 - (65/8)^2 --> h^2 = 176400/64 --> h = 420/8 = 105/2 Por fim, o volume dessa pirâmide é: V = (1/3).Area.h = (1/3).84.105/2 = 14. 105 = 1470